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数式の表示


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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 | 投稿日時 2013/8/21 23:00
LuckyHill  一人前   投稿数: 1190
 この会議室もずっと書き込みが無いままでは寂しいので、まずは道具立てからということで、【居酒屋】のトピから関係ありそうな所を転載します。まず最初にSYSOPさんのコメントから引用。

引用:
SYSOPさんは書きました:
 kafuka さんの全角数式のTeX表示サービスCGI 「Fml2TeX」を利用させていただき,投稿内で数式を表示できるようにしました。4つのフォーラム全てで利用できます。
 方法は,数式のソースを[fml2tex]と[/fml2tex]([]は半角で書いてください)で囲みます。
 例えば,¥vec F=m ¥vec a=-∇φを上記で囲めば,

と表示されます。

 全角数式のTeX表示サービスCGI 「Fml2TeX」の説明は http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/62474900.html をごらんください。



以下、適当に数式を書いてみました。

☆2次方程式と解の公式

   の解は、

  


☆導関数の定義

  


☆Eulerの公式

  

  

  

ということで、任意の複素数  は、

  

  

  

と表せる。


☆フーリエ級数
  

       


☆フーリエ展開
  

  

  



☆Gauss の定理
  

  

※ベクトルの表し方を太字と矢印の2通りで。

☆Stokes の定理
  

  


☆順列(Permutation)
  

☆組合せ(Combination)
  

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2013/8/21 23:05
LuckyHill  一人前   投稿数: 1190
>☆順列(Permutation)

◆雑談ネタ
 n人の生徒がいるクラスで同じ誕生日の人がいる確率は、n人がすべて異なる誕生日であるという、余事象の確率 をまず計算し、それを1から引くことで求められます。

  

    

 よって求める確率は、

  

 40人クラスだと、確率は約9割になります。余談ですが私の持っている関数電卓では、n=39までしか計算できませんでした(それ以上はMath Errorになる)。順列とかべき乗計算でオーバーフローしてしまうみたいですね。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2013/8/21 23:34
LuckyHill  一人前   投稿数: 1190
>◆雑談ネタ

 以前、folomyに書いたネタです。

 じゃんけんで連続100回勝つことができるか?と問われた場合、確率が2の100乗分の1だから可能性ゼロではないが、まず無理、とか、オレには一生かかってもできない、と答える人がほとんどではないでしょうか。しかし、これを1回のチャレンジで実現する方法があります。

 答えはトーナメント戦を行うのです、100回戦を勝ち抜くと優勝となるやつを。この大会を実施すれば必ず1人優勝者がでますから、すなわちこの人はじゃんけんを連続100回勝ったことになるわけです。

 ただ、1つだけ問題がありまして、2の100乗 ≒  という大会参加者を集めるのが大変、というか実現不可能。2の32乗が43億くらいですから、地球上の人類すべてが参加しても32か33回戦までしかできないのでした(笑)。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2013/12/19 9:55
CEGIPO 
【三角関数、双曲関数のn倍角の公式】

こんにちは。サイエンスフォーラム
新規改装おめでとうございます。

表記(例によって)考えてみました。
(毎度すみません)
双曲関数も追加してみました。

cos(nθ)=
{(cosθ+isinθ)^n+(cosθ-isinθ)^n}/2
sin(nθ)=
-i{(cosθ+isinθ)^n-(cosθ-isinθ)^n}/2
tan(nθ)=
-i{(1+itanθ)^n-(1-itanθ)^n}/
{(1+itanθ)^n+(1-itanθ)^n}
(cosθ≠0の時)

cosh(nθ)=
{(coshθ+sinhθ)^n+(coshθ-sinhθ)^n}/2
sinh(nθ)=
{(coshθ+sinhθ)^n-(coshθ-sinhθ)^n}/2
tanh(nθ)=
{(1+tanhθ)^n-(1-tanhθ)^n}/
{(1+tanhθ)^n+(1-tanhθ)^n}

※ド・モアブルの定理
(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)
(coshθ+sinhθ)^n=cosh(nθ)+sinh(nθ)

ではまた。(^_^)V
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2013/12/19 10:44
CEGIPO 
【オイラーの公式を四元数に応用】

以下、a^bをaのb乗、i,j,kを四元数の三虚数単位とします。


e^(iθ)=cosθ+isinθ
を四元数に応用することを試みます。

オイラーに倣ってマクローリン展開を用います。

////
e^x
=1+(x^1)/(1!)+(x^2)/(2!)+(x^3)/(3!)+(x^4)/(4!)...
より

e^(iy)
=1+((iy)^1)/(1!)+((iy)^2)/(2!)+((iy)^3)/(3!)+((iy)^4)/(4!)
+((iy)^5)/(5!)+((iy)^6)/(6!)+((iy)^7)/(7!)+((iy)^8)/(8!)+...
=1+iy/(1!)-(y^2) /(2!)-i(y^3)/(3!)+(y^4)/(4!)
+i(y^5)/(5!)-(y^6)/(6!)-i(y^7)/(7!)+(y^8)/(8!)+...
=1-(y^2)/(2!)+(y^4)/(4!)-(y^6)/(6!)+(y^8)/(8!)+...
+(iy/(1!)-i(y^3)/(3!)+i(y^5)/(5!)-i(y^7)/(7!)+...)
=1-(y^2)/(2!)+(y^4)/(4!)-(y^6)/(6!)+(y^8)/(8!)+...
+i{y/(1!)-(y^3)/(3!)+(y^5)/(5!)-(y^7)/(7!)+...}

= cosy+isiny

四元数iy+jz+kwにあてはめて

e^(iy+jz+kw)
=1+((iy+jz+kw)^1)/(1!)+((iy+jz+kw)^2)/(2!)+((iy+jz+kw)^3)/(3!)+((iy+jz+kw)^4)/(4!)
+((iy+jz+kw)^5)/(5!)+((iy+jz+kw)^6)/(6!)+((iy+jz+kw)^7)/(7!)+((iy+jz+kw)^8)/(8!)+...
=1-{√(y^2+z^2+w^2)}^2/(2!)+{√(y^2+z^2+w^2)}^4/(4!)-{√(y^2+z^2+w^2)}^6/(6!)+{√(y^2+z^2+w^2)^8}/(8!)+...
+{(iy+jz+kw)/√(y^2+z^2+w^2)}・
[{√(y^2+z^2+w^2)}/(1!)-{√(y^2+z^2+w^2)}^3/(3!)+{√(y^2+z^2+w^2)}^5/(5!)-{√(y^2+z^2+w^2)}^7/(7!)+...

= cos√(y^2+z^2+w^2)+{(iy+jz+kw)/√(y^2+z^2+w^2)}・sin√(y^2+z^2+w^2)

////
cosx
=1-(x^2)/(2!)+(x^4)/(4!)-(x^6)/(6!)+(x^8)/(8!)+...

cos(iy)
=1-((iy)^2)/(2!)+((iy)^4)/(4!)-((iy)^6)/(6!)+((iy)^8)/(8!)-...
=1+y^2/(2!)+y^4/(4!)+y^6/(6!)+y^8/(8!)+...
=(e^y+e^-y)/2

=coshy

cos(iy+jz+kw)
=1-((iy+jz+kw)^2)/(2!)+((iy+jz+kw)^4)/(4!)-((iy+jz+kw)^6)/(6!)+((iy+jz+kw)^8)/(8!)+...
=1+(√(y^2+z^2+w^2))^2/(2!)+(√(y^2+z^2+w^2))^4/(4!)+(√(y^2+z^2+w^2))^6/(6!)+(√(y^2+z^2+w^2))^8/(8!)+...
={e^(√(y^2+z^2+w^2))+e^-(√(y^2+z^2+w^2))}/2

=cosh√(y^2+z^2+w^2)

////
coshx
=(e^x+e^-x)/2
=1+(x^2)/(2!)+(x^4)/(4!)+(x^6)/(6!)+(x^8)/(8!)+...

cosh(iy)
=(e^(iy)+e^-(iy))/2
=1+((iy)^2)/(2!)+((iy)^4)/(4!)+((iy)^6)/(6!)+((iy)^8)/(8!)+...
=1-y^2/(2!)+y^4/(4!)-y^6/(6!)+y^8/(8!)+...

=cosy

cosh(iy+jz+kw)
=(e^(iy+jz+kw)+e^-(iy+jz+kw))/2

=cos√(y^2+z^2+w^2)

△(y,z,w)≡△≡iy+jz+kw
▽(y,z,w)≡▽≡√(y^2+z^2+w^2)
◇(y,z,w)≡◇≡△/▽
と表記定義すれば

e^△=cos▽+△/▽・sin▽=cos▽+◇sin▽
cos△=cosh▽
cosh△=cos▽
◇^2=-1
◇^4=1

と簡潔に表記することもできます。
※四元数における1の四乗根は◇=(iy+jz+kw)/√(y^2+z^2+w^2)
(y,z,w任意の実数。但し、y^2+z^2+w^2>0)

(^_-)v
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2013/12/19 11:02
CEGIPO 
【オイラーの公式を四元数に応用続き】
sin,sinhを追加します。

sin(iy+jz+kw)
=((iy+jz+kw)^1)/(1!)-((iy+jz+kw)^3)/(3!)+((iy+jz+kw)^5)/(5!)-((iy+jz+kw)^7)/(7!)+...
={(iy+jz+kw)/√(y^2+z^2+w^2)}・{√(y^2+z^2+w^2)/(1!)+√(y^2+z^2+w^2)^3/(3!)+√(y^2+z^2+w^2)^5/(5!)+√(y^2+z^2+w^2)^7/(7!)+...
={(iy+jz+kw)/√(y^2+z^2+w^2)}・{e^(√(y^2+z^2+w^2))-e^-(√(y^2+z^2+w^2))}/2
={(iy+jz+kw)/√(y^2+z^2+w^2)}・
sinh√(y^2+z^2+w^2)


sinh(iy+jz+kw)
=(e^(iy+jz+kw)-e^-(iy+jz+kw))/2
={(iy+jz+kw)/√(y^2+z^2+w^2)}・sin√(y^2+z^2+w^2)

すなわち、

sin△=◇sinh▽
sinh△=◇sin▽

と表せます。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2013/12/19 11:02
CEGIPO 
【オイラーの公式を四元数に応用続き】
sin,sinhを追加します。

sin(iy+jz+kw)
=((iy+jz+kw)^1)/(1!)-((iy+jz+kw)^3)/(3!)+((iy+jz+kw)^5)/(5!)-((iy+jz+kw)^7)/(7!)+...
={(iy+jz+kw)/√(y^2+z^2+w^2)}・{√(y^2+z^2+w^2)/(1!)+√(y^2+z^2+w^2)^3/(3!)+√(y^2+z^2+w^2)^5/(5!)+√(y^2+z^2+w^2)^7/(7!)+...
={(iy+jz+kw)/√(y^2+z^2+w^2)}・{e^(√(y^2+z^2+w^2))-e^-(√(y^2+z^2+w^2))}/2
={(iy+jz+kw)/√(y^2+z^2+w^2)}・
sinh√(y^2+z^2+w^2)


sinh(iy+jz+kw)
=(e^(iy+jz+kw)-e^-(iy+jz+kw))/2
={(iy+jz+kw)/√(y^2+z^2+w^2)}・sin√(y^2+z^2+w^2)

すなわち、

sin△=◇sinh▽
sinh△=◇sin▽

と表せます。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2013/12/20 4:02
CEGIPO 
【オイラーの公式を四元数に応用続き2】

前記考察から次の式を導くことができます。

e^((i+j+k)π/√3)+1=0

0,1,e,π,i,j,k,√3を総動員した面白い式です。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/1/3 12:06
Allegro  半人前   投稿数: 25
【三角関数、双曲関数のn倍角の公式続き】
フィボナッチ数列の一般項は
(1/√5)・[{(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]
です。
三角関数、双曲関数のn倍角の公式と類似しています。
これはもしかして固有値といった類のものが関連しているのでしょうか?

※注:先のCEGIPOの発言は私Allegroです。

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