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小学校4年生の算数の問題が意外と難しい!!!


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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 .2 | 投稿日時 2014/9/2 21:28
LuckyHill  一人前   投稿数: 1196
 巷で今、話題になっているそうです(笑)

【問題】大きさのちがう3つの正方形をならべて、下のような形をつくりました。この形の面積は何cm2ですか。

---
出来れば「x」を使わない(方程式を使わない)、鮮やかな解法を示してください。
投票数:4 平均点:10.00
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/9/2 23:01 | 最終変更
東 遥  スタッフ   投稿数: 3413
私の知人廻りでも出回ってました。

こんな解法、もとい、解き方では如何でしょう。

(改行100行省略) ← 意味ねー(爆)

・25cmの所に長さ25cmの針金を置く(以下思考実験でも可)
・8cmや3cmと書いてあるところにもそれぞれ8cmと3cmの針金を置く
・25cmの針金の左の正方形に重なる部分につき左端を持ち上げて折り曲げて垂直線に重ねる
 #左と中の正方形の接する部分に置かれることになる
・同じく右についても同様の操作をする
・すると中途半端な3辺から成る針金の長さは25cmで変わらず
・そこに8cmと3cmの針金を半田付けして継ぎ足すと針金の全長は計36cmとなる
・この36cmは真ん中の正方形の3辺の長さなので1辺は12cm
・真ん中の正方形の面積は144平方㎝
・左の正方形の1辺は12cmから8を引いて4cm
・その面積は16平方cm
・右の正方形も同様に1辺は9cmで面積は81平方cm
・すべての面積を足し合わせると241平方cm

で、合ってるかな?

- - - -

知人の間では、解き方を御子様に単純に教えるのは本当に容易いけどそれでは全く意味がない、応用も効かずなんにもならない、教育のキの字にもなっていないという事で、では何を教えるべきか。この際は正方形だからこの辺とこの辺は同じだから、仮想的に折り曲げてみよう、という事を教えればいいのではないか、という意見も出ましたがこれも否定的でした。或いはこの辺とこの辺が同じだから「折り曲げる」ことを思いつく様に「誘導して」も駄目で、この問題については、なんのヒントも与えずじっと考えさせて解かせなければならないのだ、という事で御座いました。

....無理だ。私には人様に教える事はできん。学校の先生は凄い。

- - - -

或いは塾なり予備校なりでも、この手の事は解き方を教えたうえで類似のパターンの問題を沢山反復演習させて問題用紙に接した瞬間に反射的に解ける様訓練するのでしょうけど、入試を突破する事、短時間で間違いなく正解に至る事を目標とするなら、その方が合理的なのかも知れませんね。


- - - -

インドでは小学1年生位でこの位の問題はお茶の子さいさいなのでしょうか?
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/9/3 0:09
zima  常連   投稿数: 121
なるほど!

赤い針金、折れ曲がってるけど25cm。

3辺の長さの合計が簡単に計算できる。なるほど、なるほど、なるほど~!

むー、針金のように鋭くて柔らかい精神に憧れるアテクシでした(^^)
 

--
by なかぢー%鳩ヶ谷@埼玉
(末期高齢者ばちゅいちww)

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 .2 | 投稿日時 2014/9/3 8:52 | 最終変更
LuckyHill  一人前   投稿数: 1196
東 遥 さん、正解です。
 その考え方が模範解答として挙がっています(中学受験向け学習塾・日能研で1回だけ全国1位をとったことのあるライター、だそうです)。
 http://nlab.itmedia.co.jp/nl/articles/1408/28/news104.html

#そういえば、日能研の車内広告は最近、見ないので、ちょっと寂しい。

zima さん。
 分かりやすく色付けした図の添付、ありがとうございます。これ以外に、真ん中の正方形の垂直の2辺を左右にパタンと倒すと、8cmと3cmの部分が25cmの左右の外側に繋がるので、3辺の長さが(8+25+3)=36cmになる、という逆の見方をする人もいるようです(いるようです、と言うか私がそっちだった;笑)。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/9/3 21:43
YMN  常連   投稿数: 667
>#そういえば、日能研の車内広告は最近、見ないので、ちょっと寂しい。

 スマホを見ていて車内広告を見ない人が増えたことの影響かもしれません。

 方程式ぽかったりして、あまり美しくありませんが、以下の方法を思いつきました。

中央の大きな正方形の辺の長ささを略して「大」とします(xなどとしてはいけません)。
3つの正方形の一辺の長さを足した数は25なので
大-8+大+大-3=25
3*大-11=25 
求める数の大が整数であるという根拠はありませんが、とりあえず「整数だと簡単でいいな」という希望があるので、希望的観測によりそう仮定してみます。

大は9以上であるので、まず最低の9と置いてみます。
3*9-11=16

まだ小さかったので次にひとつ増やして10としてみます。
3*10-11=19

またひとつ増やして11にしてみます。
3*11-11=22

さらにまたひとつ増やして12にしてみます。
3*12-11=25

ということで大は12であることが分かり面積は
12*12+4*4+9*9=241
となります。

 ところで、方程式を使えば簡単にできる問題を算数の難問として、多数の小学生が多大な労力を費やすのは疑問でもあります。
昔は中学が義務教育ではなかったので、そのあたりの歴史的背景を引きずっているのかもしれません。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/9/4 14:44
東 遥  スタッフ   投稿数: 3413
>真ん中の正方形の垂直の2辺を左右にパタンと倒す

ぉぉ、成程。その方が真一文字に横になって分かりやすいですね。

物事は多角的に見なければ。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 .2 | 投稿日時 2014/9/4 21:49 | 最終変更
LuckyHill  一人前   投稿数: 1196
 この手の問題は、指摘されれば「アアッ、なるほど!」とすぐに理解出来るのに、問題の出し方が巧いせいで、解いていくための「取っ掛かり」の部分がなかなか気付かれにくい、というのが特徴かと思います。次の問題などもそんな類の1つかも。

【問題】グレーに塗られた三角形の面積はいくらか?


※三平方の定理が必要なので、中学生向けですね
投票数:3 平均点:10.00
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 .2 .3 | 投稿日時 2014/9/10 21:54 | 最終変更
東 遥  スタッフ   投稿数: 3413
オ・ト・ナ・を自負自覚する私としてはお茶の子さいさいな問題ですけれど、小学校の子供には流石に荷が勝ちすぎですね。もしこの問題を解けたら、その児童は教諭からこっぴどく叱られなければならないのでしょうか。文部省標準の指導要領を見るとそんな心配をしてしまう。

閑話休題。こうゆう問題がある。知人が言うには中学受験のための問題らしいんですが、さて皆さん、どう解きます?

正解はCMの後で(違)。

# 祝!初の画像アップロード成功!
投票数:1 平均点:10.00
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/9/11 8:36
ゲスト 
1:2:ルート2をつかえばお茶の子さいさいですけれど。
中学入試では禁じ手。
投票数:2 平均点:10.00
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/9/11 8:37
ゲスト 
ルート3
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/9/11 12:18
FarSeer08  常連   投稿数: 197
7 × ((6 ÷ 2) ÷ (7 - 6 ÷ 2))
= 7 × (3 ÷ 4)
= 21/4
(= 5.2)

こたえ 21/4 cm または 5.2 cm

名門FSCI中学に受かりますよーに (-人-)
投票数:1 平均点:10.00
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/9/11 16:24
東 遥  スタッフ   投稿数: 3413
21/4なら私の答えと合っているのですが5.2をマークシートに記すとペケです(^^;)

最初の行の意味の解説をお願いできるでしょうか。その意味するところを私は知りたい(^^)/
投票数:2 平均点:10.00
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/9/11 16:25 | 最終変更
東 遥  スタッフ   投稿数: 3413
あー、んー、むー、無理数には、ならないと存ずるところです。
投票数:1 平均点:10.00
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/9/11 21:00
LuckyHill  一人前   投稿数: 1196
 うーん、なんか激ムズじゃないですか(汗)。とりあえず、ACとEF、2本の補助線を引いて、三角形の面積比という所から攻めてみました。我攻め(がぜめ)・力攻めですね。


面積に関して、△ABE=6と定義すると、
 △ACE=1
 △BEF=△AEF=3
 △CAF=△CBF=3.5

2本の補助線を引いたことでできた4つの三角形の面積を
 x=△CAG
 y=△CEG
 z=△FAG
 w=△FEG
と置くと、
 w+y=0.5
 x+z=3.5
 x+y=1
 z+w=3

4式を整理すると、
 x:y = z:w = 7:1

つまり三角形の面積比=線分の比で、AG:GE=7:1。 AEは6cmなので、
 AG = 6×( 7 / (1+7) ) = 21/4

まどろっこしい、冗長な解き方になってしまいました。スカッと気分爽快な解き方を早く教えてください!!!
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/9/11 21:37
LuckyHill  一人前   投稿数: 1196
 新たな難問が提示されたあとで、今更なんですが、解答を書いておきます。三角形の上下を反転させれば一目瞭然でしょう。

 斜辺は半径なので5cm、底辺は半径より2cm短いので3cm。三角形の高さにあたる辺の長さは三平方の定理から4cm。よって面積は6cm2

 もし小学生向けに出すとしたら、高さにあたる辺の長さが4cmであると予め示した上で、「さて、直角三角形の3辺の和は何cmになるでしょう?」という問題にしておけば、文部科学省にも異論はないでしょう。

※三平方の定理は知らなくても、辺の長さの比が3:4:5の時に直角三角形になるということを雑学知識として知っている小学生は高学年なら少なくないと思いますけどね。

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 .2 | 投稿日時 2014/9/11 23:33 | 最終変更
FarSeer08  常連   投稿数: 197
引用:
21/4なら私の答えと合っているのですが5.2をマークシートに記すとペケです(^^;)

#ぐはぁ、ケアレスミスの帝王はいまだ健在なり orz

引用:
最初の行の意味の解説をお願いできるでしょうか。その意味するところを私は知りたい(^^)/

(ギクッ、いつもパパの数学事典で勉強してるから学校の先生が言ってたどうかなんて知らないのに。面倒だから中学なんて行くのやめようかしら)

比は習ったと思うんですが、相似は反則かな〜。

赤線が補助線(1辺7cmの正三角形を作る)
平行四辺形は正三角形の1辺から1cm延ばした位置をつくるためだけの目くらましみたいなものなので図は薄くしてあります。

前発言式は、

CC' × (((AB ÷ 2) ÷ (BC' - AB ÷ 2)
= CC' × ((FA ÷ FC')

です。

#初めて画像が載った!
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/9/12 7:09
LuckyHill  一人前   投稿数: 1196
 FarSeer08 さんの解答を見て、スカッと気分爽快になりました。今日一日、機嫌良く過ごせそうです(笑)

  AG = 7×( 3 / (1+3) ) = 21/4 ですね。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/9/12 8:55
LuckyHill  一人前   投稿数: 1196
> w+y=0.5
> x+z=3.5
> x+y=1
> z+w=3
>4式を整理すると、
> x:y = z:w = 7:1

 「まどろっこしい、冗長な解き方」と書きましたが、上で必要なのは、

 x:y = z:w と
 w+y=0.5
 x+z=3.5

だけでした。3式から
 x:y = z:w = 7:1

いずれにしても解き方・計算の仕方として、小学生ルールでは反則でしょう。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/9/12 14:32 | 最終変更
東 遥  スタッフ   投稿数: 3413
ぉ、ぉぉ、ぉぉぉ~、感動。

そうか正三角形を拡大してやれば宜しかったか、感無量です。

因みに私の想定した回答例は図の通り。2回相似を使ってます。AG:GEの比を求める事に捉われてますね。



はい、そこには見えない物、けれども在って欲しい事、あらまほしき事を如何に想像し妄想し描き出して現出させるか、がポイントかなー、と。その意味では妄想力、じゃなくて、想像力を働かせて補助線を引く訓練が必要なのでしょう。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/9/12 15:18
東 遥  スタッフ   投稿数: 3413
なるほど面積から攻めて行くという手も御座いますね。そうゆう解き方もあるか。武器は多いにこしたことはないのでしょう。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/9/13 3:21
東 遥  スタッフ   投稿数: 3413
ぃゃぃゃ、その雑学知識が大問題になるんですよ、昨今の教育現場では(苦笑)。

教えてもいない 3:4:5 やピタゴラスの定理云々を用いて回答したら直ちにペケ、当該知識・定理を使わず、当該年次相応の教えられたとおりの解き方をなさい、と厳しくしつけられる。或いは、下手にこれがモンペに知られようものなら、

 モ「あんな子ばかり贔屓して!
   平等に教えなさい!」
 モ「あんな子に手間をかけるくらいなら
   ウチの子にもっとちゃんと教えて下さい!」

みたいな苦情が来るし教育委員会に言いつけられればそこからも厳しく指導される。できない子は引き上げることはもとよりできる子は押さえつけなければならない、なかなか大変だそうです。

困ったものです。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/9/14 14:21
zima  常連   投稿数: 121
友達が出した問題を解けないと涙目になるほどクヤシイ思いをしたものですが、今はもう、近づかないようにしている(コラw

このスレッドの問題で、なぜ自分が解けなかったのか、反省してみました。

問題1:真ん中の正方形の3辺の長さの合計が25cm
針金を折り曲げる(またはバタンと倒す)という発想ができなかった。
できたとしても、「両側の正方形の一辺の長さ」を求めることばかり考えたと思われる。

問題2:斜辺は円の半径と等しい
長方形の対角線は等しい、ということは知っていても、手を動かして線を引いてみることをしなかった。
左右反転すれば一目瞭然だが、図形の反転・回転のようなイメージを脳内で操る能力がない。

問題3:補助線を引いて相似な図形を見出す
延長できる線分はたくさんあって、その中でどれが肝になるのか見抜けなかった。
中点を通るとか、この辺に平行な、とか、そんなことまで考えると補助線は無限にありそうで泣いちゃう。
小学校5年生の算数で比について学習したが、その時、盲腸で入院していた(ヲイw

どうやら私はアスペルガー的な傾向があるようで、目の前に出されたモノしか見えないんですね。

中学の数学では、式の展開はできても因数分解は全然ダメでした。
だって、式の展開は与えられたモノを操作すれば解答に至るけど、因数分解はパターンを知らないと(知っていても脳内でマッチングできないと)手も足も出ないんだモン。

因数分解のパターンや図形問題の補助線が脳内でポーン!と出てくる、そんな能力がうらやましいッス。

---

こんな言い訳をするようになっちゃぁオシメェよ、って感じですがw

子供たちは身の回りのオトナを見て、その能力をスポンジのように吸収します。
ですから、スキルを持つオトナは、ぜひ、子どもたちと一緒に遊んであげて欲しい。
ベンキョー、とか言うと身構えちゃいますから、一緒に遊ぶ、これが良いです。
アテクシと一緒に遊んでくれるオトナなヒト、ぼしぅちぅ(激ヲイwww

--
by なかぢー%鳩ヶ谷@埼玉
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/9/14 19:42 | 最終変更
LuckyHill  一人前   投稿数: 1196
>だって、式の展開は与えられたモノを操作すれば解答に至るけど

 では、こんな問題はいかがでしょうか? ただし解答時間10秒でお願いします。

【問題】次の方程式を展開せよ。
  
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/9/14 19:51
zima  常連   投稿数: 121
うぇ~ん(T_T)26乗とか反則ですぅ~w

解答用紙の裏にgdgd書いて書いて、挙句の果てには大混乱になりそうです。

私に欠けている能力、整理整頓、これができないですねぇ。

うーん、数学オチコボレの面目躍如でした(ヲイw

--
by なかぢー%鳩ヶ谷@埼玉
(末期高齢者ばちゅいちww)

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/9/14 20:08
LuckyHill  一人前   投稿数: 1196
 まあまあ、落ち着いて。頭を柔らかくすれば解けるはずです。「解答時間10秒」の意味を考えてみましょう。早い人なら3秒でも時間が余るくらいですので。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/9/15 10:38
zima  常連   投稿数: 121
10秒?う~む、10秒では書き下せないと思ったのですが。。。

ワタシのアタマはカチンコチン?w

--
by なかぢー%鳩ヶ谷@埼玉
(末期高齢者ばちゅいちww)

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/9/15 16:19
LuckyHill  一人前   投稿数: 1196
> 

 "・・・" で省略されている部分が実際にはどうなっているのか、ちゃんと考えてみましょう。基本的には引っ掛け問題ですからね!
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/9/15 16:42
zima  常連   投稿数: 121
あーーーーーーーw

そゆことでしたかwww

うーむ、まいりましたw

展開、と言われて機械的に考えてしまったのが敗因ですなー。

もしくは x を特別扱いして考えてしまったのか。

うーん、凹んだゼwwwww

--
by なかぢー%鳩ヶ谷@埼玉
(末期高齢者ばちゅいちww)

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