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素数に関する話題


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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 .2 .3 .4 .5 .6 | 投稿日時 2014/1/19 12:59
Allegro  半人前   投稿数: 25
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// (命題)
//
// nを素数とする。このとき、nが小さい方から何番目の素数であるかは
// (n以下の素数表がなくても)下記関数を用いて計算できる(効率は極めて悪いが)。
//
// いんでっくす(n)≡1+Σ(a=2..n-1)[Π(b=2..a-1){1-1/b・Σ(c=1..b)(ζ<b>^(c*n))}]...[A]
//
// ただし、ζ<b>≡cos(2π/b)+isin(2π/b)とする。
//
// また、 Σ(a=b..c)d(a) は、d(b)+d(b+1)+...+d(c)と言う意味で、
// 同様に、Π(a=b..c)d(a) は、d(b)*d(b+1)*...*d(c)と言う意味で
// それぞれ表現しているものとする。
//**********************************
ということを証明しようと思っています。

ごく簡単に説明すると、

1)自然数を自然数で割った余りの表を考えました。

除数 y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
被除数 x
1   0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
2   0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
3   0 1 0 3 3 3 3 3 3 3 ...
4   0 0 1 0 4 4 4 4 4 4 ...
5   0 1 2 1 0 5 5 5 5 5 ...
6   0 0 0 2 1 0 6 6 6 6 ...
7  0 1 1 3 2 1 0 7 7 7 ...
8  0 0 2 0 3 2 1 0 8 8 ...
9  0 1 0 1 4 3 2 1 0 9 ...
10  0 0 1 2 0 4 3 2 1 0 ...
...
そこで、余りの周期性に着目し、割り切れるかどうかの判定関数を考えます。

判定関数として、はんてい(x,y)≡1/y*{Σ(c=1,,y)(ζ<y>^(c*x))}と
表現する方法にたどり着きました。

たとえば、自然数4なら、

はんてい(4,1)=1/1*{ζ<1>^(1*4)} =1
はんてい(4,2)=1/2*{ζ<2>^(1*4)+ζ<2>^(2*4)}=1
はんてい(4,3)=1/3*{ζ<3>^(1*4)+ζ<3>^(2*4)+ζ<3>^(3*4)}=0
はんてい(4,4)=1/4*{ζ<4>^(1*4)+ζ<4>^(2*4)+ζ<4>^(3*4)+ζ<4>^(4*4)}=1

で、4は1,2,4で割り切れ、3で割り切れません。

素数5の場合は、

はんてい(5,1)=1/1*{ζ<1>^(1*5)} =1
はんてい(5,2)=1/2*{ζ<2>^(1*5)+ζ<2>^(2*5)}=0
はんてい(5,3)=1/3*{ζ<3>^(1*5)+ζ<3>^(2*5)+ζ<3>^(3*5)}=0
はんてい(5,4)=1/4*{ζ<4>^(1*5)+ζ<4>^(2*5)+ζ<4>^(3*5)+ζ<4>^(4*5)}=0
はんてい(5,5)=1/5*{ζ<5>^(1*5)+ζ<5>^(2*5)+ζ<5>^(3*5)+ζ<5>^(4*5)+ζ<5>^(5*5)}=1

で、5は1,5のみで割り切れます。

はんてい(6,1)=1/1*{ζ<1>^(1*6)} =1
はんてい(6,2)=1/2*{ζ<2>^(1*6)+ζ<2>^(2*6)}=1
はんてい(6,3)=1/3*{ζ<3>^(1*6)+ζ<3>^(2*6)+ζ<3>^(3*6)}=1
はんてい(6,4)=1/4*{ζ<4>^(1*6)+ζ<4>^(2*6)+ζ<4>^(3*6)+ζ<4>^(4*6)}=0
はんてい(6,5)=1/5*{ζ<5>^(1*6)+ζ<5>^(2*6)+ζ<5>^(3*6)+ζ<5>^(4*6)+ζ<5>^(5*6)}=0
はんてい(6,6)=1/6*{ζ<6>^(1*6)+ζ<6>^(2*6)+ζ<6>^(3*6)+ζ<6>^(4*6)+ζ<6>^(5*6)+ζ<6>^(6*6)}=1

この性質を利用して式を工夫してやれば、[A]式が構築できる、というわけです。
で、証明したいことは、

あ)はんてい(x,y)が本当に、x%y=0なら1,x%y<>0なら0を常に満たしているか?
い)[A]式は妥当か

の二点です。

ちなみに、プログラムで検証した限りでは、[A]式は正しく作用するようです。

※最終目的は、いんでっくす(n)から逆算してnを求めることです。

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/2/20 22:17
伊豆倉 正敏  スタッフ   投稿数: 702
素人考えなのですが
割って出来る数が
無限小数(例 1/3=0.3の3が永久に続く)
ではなくて
有限小数(小数点何桁目になろうとも有限桁で終わる数がある。)
の答えがあれば、例えその時は整数ではなくても10のn乗をかければ整数(の中の素数)と見なすことが出来る。
と言う仮定をはめ込んだらどうなるのでしょうか?
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/2/22 6:04
Allegro  半人前   投稿数: 25
3以上の素数列を小さい順に並べ隣り合う素数を足して2で割ります。

n
3
5 8 4
7 12 6
11 18 9
13 24 12
17 30 15
19 36 18
23 42 21
29 52 26
31 60 30
37 68 34
41 78 39
43 84 42
47 90 45
53 100 50
59 112 56
61 120 60
67 128 64
71 138 69
73 144 72
79 152 76
83 162 81
87 170 85
97 184 92
...

この時求める数列(上記右端)は(奇数になる場合もあるが)
全て合成数(1でも素数でもない自然数或いは約数を3つ以上持つ自然数)
になるように思うのですが証明可能でしょうか?
(n=99989での計算結果まで合成数になることを計算機で確認済み)
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - | 投稿日時 2014/2/22 9:53
Chryso  スタッフ   投稿数: 4832
最近素数に凝っている者です。

数学界では有名な話なのかもしれませんが、ある数列に関して、コンピュータで証明しようとして陥りやすい証明の戒め(コンピュータの計算力だけでは正しい証明はできない)としてこんなのがあるようです。

31
331
3331
33331
333331
3333331
と、これって全部素数。一見この先、全部素数になるかと思いきや。

333333331=17*19607843

と、素数ではない。コンピュータで計算させたら、このように、17との積であるならば、比較的すぐにでてくるかと思いますけど。
ちなみに、そそっかしい人は数学的帰納法で証明した!と言い張りそうだ...

もっとも、コンピュータの抜群の計算能力が新発見をするのも確かで、オイラー様は
x^4 + y^4 + z^4 = ω^4
を満たす自然数解は存在しない、と予想したんですが、これは1988年に
2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4
という反例が「みつかった」とのこと。予想から200年ぶり、だそうです。こんなのはコンピュータにしか証明できないでしょうね。

しかしこれって、フェルマーの最終定理(x^n+y^n=z^nを満たす自然数nに、3以上のものは存在しないことの驚くべき証明をもっているのだが、余白が狭すぎるので、それをここに書ききれない)と似ているわけですが、2項だと成立するのに3項だとこのようなn=4の場合には、自然数解がある、という反例がみつかるというのが不思議な話です。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/2/22 10:14
Allegro  半人前   投稿数: 25
自己レスです。

隣り合う素数をa,bとおくと
求める数列の項は(a+b)/2
a<(a+b)/2<b
でaとbの間に素数は存在しないから
(a+b)/2は必ず合成数になる、
とのことでした。
簡単に決着がついてしまいました。

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/2/22 10:19
Allegro  半人前   投稿数: 25
伊豆倉 正敏さん、こんにちは。
msg#1.1は,msg#1に関する回答
ですか?
ちょっと題意が読み取れなかったのですが。。。すみません。

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/2/22 13:00
伊豆倉 正敏  スタッフ   投稿数: 702
 そうではなくて、この掲示板は登録したメールアドレス(PCでも携帯電話でも)が設定できてサイエンスフォーラム全体で設定しているのですが
 双子素数か他のタイトルの内容だったのですが、総当たり法で計算しているの件を携帯電話で読んだ時に思ったことを、時間が経って家に帰ってからPCから書き込もうとしたら、タイトル的にこちらの方が適切かなと思ったので...。

 要は素数を含めた整数問題の定義で、小数の値が出たら否定するのではなくて有理数として最後となる値が出たら位取りを変えたら整数となるのではと言う事を思いついた物で、それで無限に続く整数値の数の世界を有限小数を拡張か定義変更で入換えてみたらという発想です。
 何せ自分ら現場系の人間は単位換算が多くて(試薬濃度mg/Lを数百mlで作れとか、分析値はμg,ngで測定結果の単位はmg/Lという実は小数点が移動するだけの計算が多いもので)気になって書きこうしたら、タイトル的にこちらが近いのかなと思って書き込んだだけです。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/2/22 20:25
Allegro  半人前   投稿数: 25
親スレッドと直接関係ありませんが、
より一般的な予想。

(命題1)
どんなに大きな自然数n1に対しても、
適当に大きな自然数m1を一つとれば

n1*k1<p1(n1)<(n1+1)*k1
(k1≧m1,p1(n1)は素数)
なる関係を全てのk1に対して成立させることができる。
(そのような素数p1(n1)が各k1に対して1つ以上必ず存在する)

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/2/23 14:07
Chryso  スタッフ   投稿数: 4832
フェルマーは、2^(2^n)+1となる数は素数だ、と予想したらしい。

n=0 2^1+1=3
n=1 2^2+1=5
n=2 2^4+1=17
n=3 2^8+1=257
n=4 2^16+1=65537

飛んではいるものの、確かにここまではその通り。
しかし、その次で破綻してしまった。

みつけたのは次の世紀のオイラーで、n=5の時に反例

n=5 2^32+1=4,294,967,297

があり、これは = 641 * 6,700,417
なんだそうで。今だったらコンピュータで計算して、「ああ、そう」ですむけど、昔これを計算しようとしたらどんなものだったのだか。

ちなみに、この命題は否定されたものの、のちに天才ガウスがコンパスと定規だけで描くことのできる正n角形のnはこのフェルマー素数の中のものだと証明し、ギリシア時代から2000年間の問題、正17角形を描いたというから、数学ってどこでどうつながっているのかわかりませんね。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/3/12 8:33
ゲスト 
1が素数でない理由とはなんですか?
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2014/3/12 14:34
Chryso  スタッフ   投稿数: 4832
こんにちは。1が素数でないのは、そういう定義だから、としかいえませんねえ。
「素数とは、1 と自分自身以外に正の約数を持たない自然数で、1 でない数」
という定義。最初から1は除外されています。

もっとも、ご都合主義のような気もしますね。1が素数でないことにしたのは、素因数分解をする際の一意性を守るため、とのこと。
1が素数だとすると6=2×3、6=1×2×3、6=1×1×2×3、6=1×1×1×2×3も正しいということになるため。

素数を含める数論を進めるのに、1が素数であった場合、いちいち「素数、ただし1を除く」といわないといけない煩雑さを避けることもできるようです。

その一方で、1が素数だったら、そもそもの素数の定義は、「自分以外の正の約数をもたない自然数」になってすっきりするのかも。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/3/12 17:03 | 最終変更
LuckyHill  一人前   投稿数: 1196
 0の階乗が1になる( 0! = 1 )というのも、数式を見て納得はしているものの、なんか不思議な気がいつもしています。

---

 2!=2×1!
 3!=3×2!
 4!=4×3!
 5!=5×4!
 6!=6×5!
   ・
   ・
   ・
 n!=n×(n-1)!

 n=1の時、
  1!=1×(1-1)!=1, 依って 0!=1
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