メインメニュー
PR
facebook
別フォーラムへ

角谷・コラッツ(Collatz)予想


投稿ツリー


前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 .2 .3 .4 .5 | 投稿日時 2014/1/19 12:40
Allegro  半人前   投稿数: 25
こんにちは。

角谷・コラッツ予想のループが1→4→2→1以外には存在しないことを示してみたいと思います。

以下、変数は全て自然数とします。

[1]
(2^k1・n-1)/3=nとおくと、
2^k1・n=3n+1
(2^k1-3)n=1

n=1,k1=2のみが自然数解

[2]
((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)/3=nとおくと、
(2^k1・n-1)/3・2^k2=3n+1
(2^k1・n-1)・2^k2=3(3n+1)

2^k2と3は互いに素だから、
また、2^k1・n-1は奇数で、
3n+1は3で割り切れないから、

2^k1・n-1=3...[2-a]
2^k2=3n+1.....[2-b]

[2-a]より、
2^k1・n=2^2...[2-c]

k1=1,n=2
または
k1=2,n=1

[2-b]より
k2=2*q,n=(4^q-1)/3

合わせて、
n=1,k1=2,k2=2のみが自然数解

[3]
(((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)/3・2^k3-1)/3=nとおくと、
((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)/3・2^k3=3n+1
((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)・2^k3=3(3n+1)
((2^k1・n-1)・2^k2-3)・2^k3=3^2(3n+1)

2^k3と3^2は互いに素だから、
また、((2^k1・n-1)・2^k2-3)は奇数で、
3n+1は3で割り切れないから、

(2^k1・n-1)・2^k2-3=3^2...[3-a]
2^k3=(3n+1)...............[3-b]

[3-a]より、
(2^k1・n-1)・2^k2=3(3+1)=3・2^2

2^k2と3は互いに素だから、
また、2^k1・n-1は奇数で、
2^2は3で割り切れないから、

2^k2=2^2...[3-c]

(2^k1・n-1)=3
2^k1・n=2^2

丁度、[2-a],[2-c]と同様の式だから、

k2=2,

k1=1,n=2
または
k1=2,n=1

[3-b]より
k3=2*q,n=(4^q-1)/3

合わせて

n=1,k1=2,k2=2,k3=2のみが自然数解

[4]
((((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)/3・2^k3-1)/3)・2^k4-1)/3=nとおくと、
(((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)/3・2^k3-1)・2^k4=3(3n+1)
(((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)・2^k3-3)・2^k4=3^2(3n+1)
(((2^k1・n-1)・2^k2-3)・2^k3-3^2)・2^k4=3^3(3n+1)

2^k4と3^3は互いに素だから、
また、(((2^k1・n-1)・2^k2-3)・2^k3-3^2)は奇数で、
3n+1は3で割り切れないから、

(((2^k1・n-1)・2^k2-3)・2^k3-3^2)=3^3...[4-a]
2^k4=(3n+1)...[4-b]

[4-a]より、
((2^k1・n-1)・2^k2-3)・2^k3=3^2(3+1)=3^2・2^2

2^k3と3^2は互いに素だから、
また、((2^k1・n-1)・2^k2-3)は奇数で、
2^2は3で割り切れないから

((2^k1・n-1)・2^k2-3)=3^2
2^k3=2^2

丁度[3-a]と同様の式になるから、

n=1,k1=2,k2=2,k3=2,k4=2のみが自然数解


以下、同様にして(厳密には数学的帰納法を用いて(省略))


(((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)/3・2^k3.../3・2^kx)-1)/3=nとおくと、
ループは、
n=1,k1=k2=..=kx=1の時のみ可能となる。

これはすなわち1→4→2→1以外のループは存在しないことを意味する。
(n→3n+1(n≡1(mod.2)),n→n/2(n≡0(mod.2)として)

--
//*********************************
★✩Allegro@長野県塩尻市✩★
ヾ(@⌒ー⌒@)ノ
♡西脇綾香(Perfumeあ~ちゃん)大好き
//*********************************

投票数:1 平均点:10.00
返信する
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/1/19 19:57
Allegro  半人前   投稿数: 25
角谷予想における有限の操作で1に達する自然数を収束数とここでは呼ぶことにします。

ある偶数xが収束数の時、奇数x-1も収束数になるか?

(2^k1・n1-1)/3・2-1=(2^k2・n2-1)/3
(2^k1・n1-1)・2-3=(2^k2・n2-1)
(2^k1・n1-1)・2-2=(2^k2・n2)
(2^k2・n2)=(2^k1・n1-1)・2-2
(2^k2・n2)=2・((2^k1・n1-1)-1)
(2^k2・n2)=2・(2^k1・n1-2)
2・(2^(k2-1)・n2)=2・(2^k1・n1-2)
(2^(k2-1)・n2)=(2^k1・n1-2)
(2^(k2-1)・n2)=2・(2^(k1-1)・n1-1)
2・2^(k2-2)・n2=2・(2^(k1-1)・n1-1)
2^(k2-2)・n2=(2^(k1-1)・n1-1)

1)k1≧2の時

k2=2
n2=2^(k1-1)・n1-1

例)

(2^2・13-1)/3・2-1=33=(2^2・(2^(2-1)・13-1))/3

2)k1=1の時

2^(k2-2)・n2=n1-1
題意よりn1奇数としてよいから、
n1=2m1+1とおいて、

2^(k2-2)・n2=2m1
2^(k2-3)・n2=m1=(n1-1)/2

n1=4q+1の時、

2^(k2-3)・n2=2q
2^(k2-4)・n2=q=(n1-1)/4

2-1)m1:奇数の時、

k2=3
n2=m1=(n1-1)/2

2-2)m1:偶数の時、m1=2m2として
2^(k2-3)・n2=2m2
2^(k2-4)・n2=m2

2-2-1)m2:奇数の時
k2=4
n2=m2=m1/2=(n1-1)/4

2-2-2)m2:偶数の時、m2=2m3として
2^(k2-4)・n2=2m3
2^(k2-5)・n2=m3

2-2-2-1)m3:奇数の時
k2=5
n2=m3=m2/3=m1/4=(n1-1)/8

2-2-2-2)m3:偶数の時
...以下、同様。

n1=4q+3の時、

2^(k2-3)・n2=2q+1
k2=3
n2=2q+1=(n1-3)/2+1

(2^k2・n2-1)/3=(2^3・((n1-3)/2+1)-1)/3

例)

(2^1・11-1)/3・2-1=13=(2^3・((11-3)/2)+1)-1)/3

3)k1=0の時
題意よりn1奇数としてよいから、

2^(k2-1)・n2=2^k1・n1-2
2^(k2-1)・n2=n1-2

k2=1
n2=n1-2

例)

(2^0・13-1)/3・2-1=(2^1・(13-2)-1)/3

よって、偶数nが収束数ならば奇数n-1も収束数である。(?)
投票数:1 平均点:10.00
返信する
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/1/19 21:49
Allegro  半人前   投稿数: 25
続き

k1≧2の時

(2^k2・((2^(k1-1))・n1-1)/3

2^k2・(2^(k1-1))・n1

(2^(k1-1))・n1<(2^k1・n1-1)

k1=1の時

n1=4q+1の時
2-1)m1:奇数の時

((2^3・(n1-1)/2)-1)/3

(2^3・(n1-1)/2)

2^2・(n1-1)
→n1-1<n1

2-2)m2:偶数の時
2-2-1-m3:奇数の時
(2^4・((n1-1)/4-1)/3

2^4・((n1-1)/4

2^2・(n1-1)

n1-1→n1

...

m1=4q+3の時

(2^3・((n1-3)/2+1)-1)/3

2^3・((n1-3)/2+1)

(n1-3)/2+1)<n1

k1=0の時
(2^1・(n1-2)-1)/3

2^1・(n1-2)

n1-2<n1

よって、それぞれ元のn1より小さい値に
到達できることがわかる。
投票数:0 平均点:0.00
返信する
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/1/25 10:06
Allegro  半人前   投稿数: 25
角谷・コラッツ予想の数列の挙動を調べていたところ、
次のような興味深い性質を見つけました。

以下で、角谷数列を

例)n=9⇒28→14→7⇒22→11⇒34→17⇒52→26→13
⇒40→20→10→5⇒16→8→4→2→1

のように表記するものとします。
ここで、
⇒は左辺が奇数なので3倍して1を足す操作、
→は左辺が偶数なので2で割る操作とします。

この時、系列に現れる⇒の個数をf(n)と表すことにすると、
次の性質が成り立つように見受けられます。
(未証明)

f(1・2^(2n-1)-1)=f(1・2^(2n )-1) (n≧2)
f(3・2^(2n )-1)=f(3・2^(2n+1)-1) (以下、n≧1)
f(5・2^(2n-1)-1)=f(5・2^(2n )-1)
f(7・2^(2n )-1)=f(7・2^(2n+1)-1)
f(9・2^(2n-1)-1)=f(9・2^(2n )-1)
...

例)
f(7)=f(15)
f(31)=f(63)
...
f(11)=f(23)
f(47)=f(95)
...
f(9)=f(19)
f(39)=f(79)
...
f(27)=f(55)
f(111)=f(223)
...
f(17)=f(35)
f(71)=f(143)
...

これらは証明可能でしょうか?
数列(掲載省略)を見たところ、→と⇒の配置の同型
という箇所が前半と後半にありそうに思えます。
投票数:0 平均点:0.00
返信する
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/2/20 13:20 | 最終変更
Allegro  半人前   投稿数: 25
角谷(Collatz)予想の数列の変化を

n⇒(3n+1)/2 (nが奇数の時)
(※2で割る操作をセットにしているので注)
n→n/2 (nが偶数の時)

n->n(1)->n(2)->...n(s-1)->n(s)
(->は⇒または→)
(n(1),n(2),..,n(s-1)>n,n(s)<n)

とここでは書くこととし、

連続した→の数を左から順にn(s)の直前まで全てみて、
a<1>,a<2>,a<r>
連続した⇒の数を左から順にn(s)の直前まで全てみて、
b<1>,b<2>,b<r>
と表すことにする。
(nの左端出発値が3以上の奇数の場合のみ考える)

この時、

Suma<r>=Σ(i=1..r)a<i>
Sumb<r>=Σ(i=1..r)b<i>

として、次を示したい。

命題1)
nがnより小さい自然数n(s)に到達するならば
Sumb<r>(log<2>3-1.0) < Suma<r>

※<2>は対数の底

のですが、こつこつ式計算するしかないでしょうか?
(計算機でn=150000001まで確認済み)
一般的に(nがnより小さい数n(s)に到達するための
必要条件として(必要十分条件ではない))成り立つことを
示したいのです。

↓こんな式計算で上式を導いています。

bは⇒の個数のみ数え、
a+bは⇒の個数と→の個数の両方数えるから、
(3n+1)/2,n/2の式計算の組み合わせの考察から
例)n⇒(3n+1)/2⇒(3(3n+1)/2+1)/2→(3(3n+1)/2+1)/(2^2)
指数乗になる部分を取り出して、
(nが因数に含まれない部分がnを含む部分との
大きさの比較から無視できるから?)

(3^b)/(2^(a+b))<1
3^b<2^(a+b)
(3/2)^b<2^a
blog(3/2)<alog2
blog(3/2)/log2<a
b(log3-log2)/log2<a
b(log<2>3-1)<a

(Sumb<r>をb、Suma<r>をaとおいた)
投票数:0 平均点:0.00
返信する
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2014/2/20 15:41
Allegro  半人前   投稿数: 25
命題2)(予想)
nがnより小さい自然数n(s)に到達するための必要十分条件は、

[Sumb<r>(log<2>3-1)]=Suma<r>-1

※ただし、Suma<r>、Sumb<r>は
小さい自然数に到達した所で止めて考える。
※[]はガウス記号

これは証明方針が若干不明ですが
計算機で検証中です
(n=50000001まで成り立つことを検証済み)
投票数:0 平均点:0.00
返信する

このトピックに投稿する

題名
ゲスト名
投稿本文
  条件検索へ


ログイン

ユーザー名:


パスワード:





パスワード紛失  |新規登録
PR
twitter
Created by: twitter website widget