双子素数

(以前書いたかな??）

命題W:

n・n<q<q+2<n(n+1)<r<r+2<(n+1)(n+1)

を満たす双子素数の組(q,q+2),(r,r+2)が
それぞれ１組以上存在する。

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この命題がn≧503の時、成立すると僕は予想を立てました。
もし、成立するとすると、n・n<(n+1)(n+1)<(n+2)(n+2)...
ですから、双子素数は無限に存在することになります。
でも、今の所、歯が立たないので誰か
証明に挑戦してみませんか？
或いは反例があるでしょうか？

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双子素数に関する予想です。
（計算機で検証中）

１）３以上の各奇数qに対し、
3q<p1<p2(=p1+2)<5q
を満たす双子素数の組(p1,p2)が
常に存在する。

２）３以上の各奇数qに対し、
[3.23076q]≦p1<p2(=p1+2)≦[4.47827q]
を満たす双子素数の組(p1,p2)が
常に存在する。

３）２）とほぼ同じことであるが
３以上の各奇数qに対し、
42/13・q≦p1<p2(=p1+2)≦103/23・q
を満たす双子素数の組(p1,p2)が
常に存在する。
（計算機での検証では丸め誤差が生じるので注意）

（但し、[x]はxを越えない最大の整数を表すガウス記号とする)

双子素数に関する予想です（続き）。
（計算機で検証中）

１）７以上の自然数nに対し、
3n<p1<p2(=p1+2)<5n
を満たす双子素数の組(p1,p2)が
常に存在する。

２）７以上の自然数nに対し、
[3.23076n]≦p1<p2(=p1+2)≦[4.47827n]
を満たす双子素数の組(p1,p2)が
常に存在する。

３）２）とほぼ同じことであるが
７以上の自然数nに対し、
42/13・n≦p1<p2(=p1+2)≦103/23・n
を満たす双子素数の組(p1,p2)が
常に存在する。
（計算機での検証では丸め誤差が生じるので注意）

（但し、[x]はxを越えない最大の整数を表すガウス記号とする)

素数の話題の方にも関連して書いたけど、

より一般的な予想

(命題２）
どんなに大きな自然数n2に対しても、
適当に大きな自然数m2を一つとれば

n2*k2<p2(n2)<p3(n2)(=p2(n2)+2)<(n2+1)*k2
(k2≧m2,(p2(n2),p3(n2))は双子素数の組)
なる関係を全てのk2に対して成立させることができる。
（そのような双子素数の組（p2(n2),p3(n2))が
各k2に対して１組以上必ず存在する）

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双子素数の組は(3,5)を唯一の例外として
(6n-1,6n+1)の形で表せます(n：自然数)
では(6n-1,6n+1)が実際に双子素数になる場合はどんな場合でしょうか？

(6n-1,6n+1)が双子素数の組ではない時、かつ、その時に限って、
6n-1=(6a-1)(6b+1)...[A1]
または
6n+1=(6a-1)(6b-1)...[B1]
または
6n+1=(6a+1)(6b+1)...[C1]
で表せます（そのような自然数a,bがとれる）

三式をそれぞれ変形すると

[A1]式を変形して
6n-1=36ab+6a-6b-1
6n=36ab+6a-6b
n=6ab+a-b...[A2]

[B1]式を変形して
6n+1=36ab-6a-6b+1
6n=36ab-6a-6b
n=6ab-6-b...[B2]

[C1]式を変形して
6n+1=36ab+6a+6b+1
6n=36ab+6a+6b
n=6ab+a+b...[C2]

したがって、自然数nが6ab-a-b,6ab+a-b,6ab+a+b
のいずれかの形で表せる時、かつ、その時に限って、
(6n-1,6n+1)は合成数を含む組になります。

自然数nが6ab-a-b,6ab+a-b,6ab+a+bの
いずれの形でも表せない時、かつ、その時に限って
(6n-1,6n+1)は双子素数の組になります。

従って、双子素数が無限に存在することを示すには
6ab-a-b,6ab+a-b,6ab+a+bで表せる自然数の
小さい順から並べた列がどこまでいっても
無限に隙間だらけであることを示せばよいことになります。

双子素数が有限組しか存在しないことを示すには
ある自然数n0をひとつとってn≧n0なる
すべての自然数nに対して、nが
6ab-a-b,6ab+a-b,6ab+a+bの
いずれかで表せることを示せばよいことになります。

しかしその証明が難しいらしいのですが。。。？？？（式そのものは平易)

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