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ループ量子重力理論と超弦理論


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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/2 12:32 | 最終変更
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
以前、立川裕二さんが
研究内容の選択で、"超弦理論"と2択で
"ループ量子重力理論"があったとおっしゃられた
事がありました

その理論の基盤には、Roger Penroseが編み出した
Spin NetworkやTwistorがある
ツイスターの世界
- 時空・ツイスター空間・可積分系 -
2005.05 共立出版 高崎 金久

複素射影空間へmappingする手法は
代数幾何学のやり方と似ていると当時は思ったが、今
2009年3月の浜中真志さんの書評を拝見すると
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/62/3/62_0623420/_pdf
instantonの一般的作り方のADHM構成法の原点であったりします
数学の大統一に挑む
https://www.amazon.co.jp/dp/B0111OGVTM/ref=dp-kindle-redirect?_encoding=UTF8&btkr=1
をKindleで読み、旧ソ連の実情が分かったり
Gel'fandの逸話が,Landau並みなのに驚きました
もっとも、参考になったのは
"層"という数学的対象の理解の仕方です
この層というのは、佐藤幹夫の超函数の定義域
であり、多項式の本質、素数の本質とも関係する
複素函数や複素多様体に展開される構造ですし
ツイスターの記述とも関係します

また最近、すごい物理学講義
https://www.amazon.co.jp/dp/B0842ND5YD/ref=dp-kindle-redirect?_encoding=UTF8&btkr=1
をKindleで読み

以前、大栗さんが
大栗博司+三浦雅士
世界の見方を変える超弦理論 最前線
平凡社刊 こころ Vol.31 2016
p26~p55
で語った内容を、何れ消えてしまう可能性がある
物理フォーラムから転載します
【引用開始】
超弦理論と次元
三浦 その新しいデュアリティーの現象をもう少し
    具体的に言うと?
大栗 次元が変わってしまう現象があるんです
    「光子の裁判」は非常に巧妙に光の
    粒子的性質と波的な性質の両方が
    存在することを説明してくれていますよね
三浦 「光子の裁判」と同じように、今度は
    それが現象する場面自体= 空間も
    問題にせざるを得なくなるような現象
    ということですか?
大栗 そうです。まず1つは、舞台だった時間や
    空間のとらえ方が変わります
三浦 つまり、舞台そのものが変化してしまう
    という点が決定的に違うところなんですか?
大栗 たとえば僕らが今、2次元の上の空間に
    住んでいるとします。高さのない世界、縦横や
    前後の紙の上にしか行き来できない
    それが(紙を筒状にして)こんなふうに丸まっていた
    とします。縦方向に行けば真っ直ぐ進みますが、
    横方向に進めばぐるぐる回る。この世界に住んで
    いる人は、歩いて行けば元の場所に戻ってきます
    から、世界が筒状になっていることが分かりますし
    その半径も分かります。ところが、この世界に住む
    人が点ではなく、ヒモ状に広がったものだったとすると
    違う現象が現れてくるんです。点であれば
    どの方向に進んでいるか、ぐるぐる回っているのか
    どのくらいの速さか、といったぐらいの運動しかないのに
    ヒモ状だと、もう1つ新しい形態があって、筒に巻き付く
    事ができる。しかも、2回でも3回でも巻き付ける。
    点の粒子にはなかった新しい形態です。そこで、筒の
    半径を変えたときに、どうなるか考えてみます。
    筒のサイズが小さければ短くても巻き付けますし、軽い。
    たくさん巻き付いたものでも筒のサイズが小さければ
    軽い粒子ができる。そのことが、ヒモを使った空間や
    時間認識と、点を使った空間や時間認識との違いに
    なるんです。そもそもユークリッド幾何学の公理が点の
    特徴づけから始まっているように、これまでの幾何学は
    すべて点を基礎にしてきていました。アインシュタインの
    一般相対性理論の基礎となったリーマン幾何学に
    してもそうです。ところが弦理論になると、基礎になるのは
    点ではなく、1次元的に広がったヒモなので、今度は
    空間の形や時間の振舞いをヒモがどう見るか、それを使って
    空間を見ればどう見えるか、ということのすべてが問題になって
    きてしまった。そのことは最近は数学でも非常に盛んに研究
    されていて、4年に1度授与される数学で最も権威ある
    フィールズ賞-広中平祐さんや森重文さんが受賞された-
    は1990年代から今に至るまでの半数近くがその分野の
    研究に与えられているほど重要な話題になっています。
三浦 トポロジーということですか?
大栗 それも含まれますが、幾何学全体をヒモで見ると
    どのように見えてくるか、「弦の幾何学」と言ったりしますが
    まったく新しいいろんな現象が見えてきているのです
三浦 すると、たとえば筒を実体的に考えるからおかしく
    なってしまう訳で...。
大栗 僕らからすれば筒というのは筒の形にしか見えないのですが
    ヒモを使って観測すれば全然違った現象がある。
    たとえば今おっしゃったトポロジーは、空間の性質を分類する
    方法ですね。ボールとドーナツはトポロジーが違うと言い、
    それによって、空間を分類している訳です。ところが、それは
    点を使って観測した結果なんです。弦を使ってトポロジーを
    定義すると、これまでトポロジーが異なると思われていたものが
    連続的に変化したりすることもある。つまり空間の分類が
    1次元的に広がった弦を使えば異なって見えてくる。
    点を使って幾何学を作って来た僕らにはそういう直観的な 
    感覚はないのですが、自然界の一番基礎のところが1次元的に
    広がった弦で出来ているところから出発し、それを使って空間を
    観測して理論を作ると、これまでの幾何学の分類、空間の形
    とはまったく違った分類になることが分かってきたんです。
三浦 その場合の弦というのは、点や線とは違う定義になりますよね?
大栗 無定義用語なんです。 一番基礎のところですから。
三浦 ああ、そうか。
大栗 空間の1次元的な部分を線としている訳です。
三浦 長さはあるのですか?と聞いていいのでしょうか?
大栗 もともとの空間にあった測り方で測れば長さはありますが
    それは点粒子の言葉での表現です。
三浦 すると、長さというのも幻想の1種ということになりますか?
大栗 そうですね。1つの空間の記述の仕方で、僕らは点を使って
    幾何学を構成してきた-空間の中の場所は点で決まって
    その間の距離を測ることができる-のですが、まったく違った
    幾何学の作り方もある。
三浦 すると、超弦理論というのは基礎の部分から全部変えていく
    ということ?
大栗 空間や時間の考え方をやり直そうとしている訳です。
    なぜならこれまでの空間や時間の考え方では、どうしても
    重力と量子力学をうまく合わせることができないからです。
三浦 アインシュタインとハゼンベルクを、ということですね?
大栗 点を基礎にしたリーマン幾何学を使って作られたアインシュタイン
    の重力理論と、ハイゼンベルクやパウリの量子力学が、1世紀
    ぐらい科学者が研究していてもどうもうまく組み合わさらないのは
    どうも基本的な問題があるのではないか、と。
三浦 出発点に立ち返って考え直してみる?
大栗 そういうことです。
三浦 すると、僕らが考えているよりずっと巨大な話しですね。
大栗 これまで考えられてこなかった新しい幾何学に立脚することで
    重力と量子力学との統合の困難を解決しようとしているんです。
三浦 そうか。僕ら素人はどうしても点の考え方の延長線上でヒモを
    イメージしていたようです。
大栗 もちろんそれは自然なことです。でも、そうではなく、広がったもの
    を考えることでこれまでとは違った幾何学を作り、それに基づいた
    新しい重力理論を作ろうということなんです。
三浦 それはもうまるっきり想像しにくい。
大栗 できないですよ。だって僕らは点粒子に基づいた幾何学で
    生きている訳ですから。
三浦 そうか。先ほどの階層の話しになりますが、点と線という考え方
    というのは...。
大栗 その階層構造は、そもそも点を基礎にした幾何学を前提に
    している訳ですよ。
三浦 えーっ、階層構造そのものが?
大栗 そりゃそうです。距離とかいう話しですから。よりミクロな世界
    というのは、より距離が短いということでしょう。
三浦 そうか。でもヒモを基礎にした新しい数学にも新しい階層構造
    がありうる?
大栗 あるかもしれません。でもこれまで点を基礎としてきたような
    よりミクロなところへ行って、より基本的な理論を作るという
    道筋はもう終わっている訳です。
【引用終り】

まだ、他のテーマでも話されておりますが
上記引用の部分は、間違いなく他に類を見ないので
引用いたしました

ここで語られた内容に近いものが
すごい物理学講義にありました

Carlo Rovelliは、時空以前を量子の構成法で
描き出しています
具体的に構成した事で、具体的な問題が
計算可能ですから、検証ができるって訳です

彼は、"LHC"で"超対称性粒子"が見つかっても
見つからなくても困らないと言います
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/2 12:54 | 最終変更
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
大栗さんが何度も繰り返しおっしゃるように
"Planck Scaleで、階層は終わる"のだ

上記、2冊の面白い本
"すごい物理学講義"
https://www.amazon.co.jp/dp/B0842ND5YD/ref=dp-kindle-redirect?_encoding=UTF8&btkr=1
"数学の大統一に挑む"
https://www.amazon.co.jp/dp/B0111OGVTM/ref=dp-kindle-redirect?_encoding=UTF8&btkr=1
と、もう1つあります
あの黒川信重さんの片腕、小山信也さんの
"リーマン教授にインタビューする"
https://www.amazon.co.jp/dp/B07CY1QZQ2/ref=dp-kindle-redirect?_encoding=UTF8&btkr=1
これは、書籍版でもっているのですが
この本で、"解析接続"の意味が本当に分かりました

また、黒川さんの"絶対数学"
https://www.amazon.co.jp/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E9%BB%92%E5%B7%9D-%E4%BF%A1%E9%87%8D/dp/453578552X
は、一元体F_1ってものが、打ち出の小槌のように、いろんな関数等式を生み出す理由を知るには欠かせません
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/2 13:24
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
Carlo Rovelliは、時間は熱現象のような
"平均的な現象"によって生み出されると言う

まあ、それでも
"熱"が分子1つでは、運動energyという
原理的に測定可能な量と結びつき、概念的にも
energyという単位をもつという側面は
ミクロな存在が、量的な違いでマクロと
つながっていると理解できるのは
どう考えろって言うのだろう

空間そのもののspectrumを考えるまでは
できたが、時間の問題は、そうたやすいとは
言えないのだろ

Tomio Petrosky先生たち、Prigogine学派が
導いた結論である、拡張されたHilbert空間から
時間の一方向性が、力学以外の仮説なしで
導かれている

考え抜かれているのだ

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/7 5:15
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
量子重力での一番の問題は
構築すべき基本的概念の1つ1つが、古典論的ではない事です
でも、私たちは古典論的にimageするしか出来ない

この問題を、どう乗り越えるかなんだと思います

問題の根源は、"量子"というものを"古典的"
にimageできない点にあります
一般的には、Hilbert空間中のベクトルが
"量子"の数学的表現で、Unitary変換で時間変化を
追跡できると考えられています
場の量子論の摂動計算も、こうした数学的背景の
上に構築されています

存在の空間的広がりは、測定の論理によって
古典論的空間の一点に姿を現す作りになっています
ところが、時間の概念は、古典論のままです
事象生起の順序という因果関係の論理は
人が、ものごとを理解整理する上での根源であり
この単純な数の順序を、他の考えに置き換える
なんて出来そうにありません

しかも、空間の1点に古典論的に姿を現すという現象を
時間的変化として追跡することは原理的にできず
測定した瞬間に1点に出現すると考えられています

それでも、物理として先へ進む事ができたのは
運動方程式の存在があり、原理的に時間変化を
追跡可能と考えられているからです

理解の困難さの根源である
空間的に、かなりの広がりをもって
存在している"量子"の古典論とのつながりを示唆する論文がある
あのSchrödingerが、彼の方程式を提出した年に
The Continuous Transition from Micro To Macro Mechanics
Die Naturwissenshaften,28,pp.664-666,1926
という、とても重要な論文を書かれている事を知る人は少ない

完訳したので、とても短いものですのでupします
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/7 5:24 | 最終変更
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
The Continuous Transition from Micro To Macro Mechanics
Die Naturwissenshaften,28,pp.664-666,1926

de Broglie_1とEinstein_2の考えにのっかって構築すること
私は、時間の函数で力学系の座標を定義しようとする
力学の通常の微分方程式が"小さな"系には
もはや通用しない事を示そうとしました_3
その代わりに、座標と時間の函数ψ("波動関数")を定義する
ある偏微分方程式を導入する必要があります
振動する弦や、他の任意の振動系の微分方程式のように
ψは、時間の調和振動(即ち正弦波)の重ね合わせで与えられます
その振動数は、ミクロな力学系の分光学用語の"振動数"と
正確に一致します

例として、線形なPlanck振動子_4の場合、エネルギー函数は
(1) (m/2)(dq/dt)^2 + 2π^2ν_0^2mq^2

ここで、変位qの代わりに、無次元変数で置き換えれば
(2) x = q・2π√mν_0/h

ψは、次の固有振動の重ね合わせで求められます_5

(3) ψ_n = e^(-x^2/2)H_n(x)e^(2πiν_nt)
( ν_n = (2n + 1)ν_0/2; n = 0,1,2,3... )
H_nは、Hermiteに因んだ多項式_6です
-----------------------------------------------------------------------------------
1. L.de Broglie,Ann. de Physique(10),3,p.22,1925(Thèses,Paris,1924).
2. A.Einstein Berlin Ber.1925,p.9 et seq.
3. Ann.d.Physik; に集録のessays
4. 即ち、直線上を運動する質量mの粒子は、
  直線上のある固定点に、その点との変位qに比例した力で引きつけられる
  力学によれば、その粒子は振動数ν_0で振動します
5. iは、√-1を意味します 通常、右辺は実数部が取られます
6. 【参照】Courant-Hilbert,Metheden der mathematischen Physik,I.chap.ii.§10,4,p.76
(Berlin,Springer,1924).
------------------------------------------------------------------------------------- p.41 ---
もし、それらにe^(-x^2/2)と、"規格化因子"(2^n・n!)^(-1/2)を掛けると
それらは、Hermiteの直交函数と呼ばれ、固有振動の振幅を表します
図1に、最初の5つを示します これらがよく知られた弦の振動と似ているのはとても重要です
粒子の力学を扱っていると分かっているなら、そのように固有振動で過程を記述するのは
すぐに変だと気づきます
この簡単な例によって、高次("量子数")nの固有振動の集団と、それより小さい次数の集団の違い
("量子数の差")が、ふつうの力学によって"運動"する、即ち、振動数ν_0で振動する"粒子"の
マクロな力学への直接的な移行となる事を証明したい
A>>1という1つの数(即ち、1と比べ極端に大きい)を考え、次の固有振動の足し合わせを作ります
(4) ψ=Σ(A/2)^nψ_n/n!=e^(πiν_0t)Σ((A/2)e^(2πiν_0t))^n(1/n!)e^-(x^2/2)H_n(x)

このように正規化された固有函数は、上で見たように、以下の係数が採用される
(5) A^n/√(2^n)n!
これは、容易に分かるように_1、隣り合うn-番目の比較的小さな集団から、値を抜き出した結果です
(6) n=A^2/2
-----------------------------------------------------------------------------------
1. z^n/n!を、nの函数と考えると、zの大きい値に対して、n=zに孤立した極めて高い、とても尖った
最大値を取ります. z=A^2/2とし平方根を取りると、(5)の数列を得ます
-------------------------------------------------------------------------------------- p.42 ---

(4)の級数の和は、xとsの次の恒等式_1によって求められます:

(7) Σ(s^n/n!)e^(-x^2/2)H_n(x)=e^(-s^2+2sx-x^2/2)
n=0
従って
(8) ψ=e【πiν_0t-(A^2/4)e^(4πiν_0t)+Axe^(2πiν_0t)-x^2/2】
さて、ここで右辺の実数部をSEとり、少し計算すると次を得ます
(9) ψ=e^(A^2/2-(1/2)(x-Acos2πν_0t)^2)cos【πν_0t+(Asin2πν_0t)(x-(A/2)cos2πν_0t)】

これが最終結果で、最初の項に注目です
それは比較的高くて狭い"丘"で、"Gaussの誤差曲線"になっており
ある瞬間に、次の位置の近くにあります
(10) x=Acos(2πν0t)
丘の幅は1の大きさのオーダーで、それ故、仮定によりAと比べ、とても小さい
(10)により丘は、(1)をenergy函数とする粒子の通常の力学と同じ法則に従って
振動します
xの振幅はAなので、q表示では
(11) a=(A/2π)√h/(mν_0)
力学では、この振幅で振動数ν_0で振動する質量mの粒子のenergyは
(12) 2π^2a^2ν_0^2m=(A^2/2)hν_0
即ち、(6)からnhν_0に一致します
ここで、nは対象となる集団の量子数の平均値です
このように"対応"は、この点に於いて完璧です
(9)の第2項は、一般的にxとtにより速く変化し、1と比べ小さな絶対値をもつ函数です
それは、図2に概念的に示すように、第1項の形の中を多くの深くて狭い溝が
かき分けて進むような、波の集団を作ります
図2のx軸の単位は、図1より小さく取られています
図2を5倍すると、図2と直接比べられます
(9)の第2項のさらに正確な考察は、図2には見られない詳細な展開を導きます
粒子の内部の溝または波束の数と幅は、時間で変化します
波束は、中心x=0を通過する時に、もっとも多く狭くなります
そして、x=±Aを越えると、なめらかになります
----------------------------------------------------------------------------------
1. Courant-Hilbert,(58)式参照

それは、(10)によってcos(2πν_0t)=±1ならば、sin(2πν_0t)はゼロですから
(9)の2項は、xとは独立になります
それでも、波の集団("粒子の密度")の完全なる拡張は、いつだって残ってしまいます
"波の形"の変化が、速度に依存すべきなのは
波動力学のすべての一般的側面からも分かり易いのですが
今この点のこれ以上の議論は望みません
我々の波の集団は、光学の例に見られるように
いつでも小さなままで、時間と共に広がったりしません
分かるように、これは1次元には限りませんが
弦上の山は、まったく同様に振る舞います
簡単に分かるように、(4)のような、xやyやzで書かれる2つか3つの表現を掛け合わせる事で
平面や空間的振動子を表現できます
即ち、調和的楕円軌道_1を描く平面や空間の波の集団です
また、例えば、時間と共に分散する古典光学の波束とは違い
その波の集団は小さなままとどまります
その違いは、我々の集団が、分離した離散的な調和成分で構成されている事に起源があり
そのような連続的起源ではないからです
結果的に、次の点に注目されたい
(3)のすべてのν_nに、加算される一般的な付加定数C(粒子の"残留-energy"に対応)は
決して本質を変えない事です
(9)の括弧の二乗に、2πCtを加える事になるだけです
従って、波の集団内の振動子は、時間的に、より速く振動しますが
振動子の集団全体としては、(10)で与えられるように、"波の形"には影響しません

以下の点は、間違いなく予見できる
同様な方法で、高度の量子化されたKepler楕円を運動する波の集団を
構築でき、それが水素内電子の波動力学の表現になっている事です
しかしながら、計算の技術的困難さは、ここで扱った特に簡単な場合に比べ大きい
----------------------------------------------------------------------------------
1. 過去に、平面的振動子の量子準位が整数で、空間的振動子では半整数になる
  という興味深い事実がある事を指摘したい 回転子についても同様です
  半整数性は、分光学的にはとても重要で、空間の次元の偶奇性に関係している
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OK_like-mj  常連   投稿数: 657
論文中の図を見ないと、分かりにくいですので
原論文を参照ください
https://ia801600.us.archive.org/20/items/in.ernet.dli.2015.211600/2015.211600.Collected-Papers.pdf
のp53~が
The Continuous Transition from Micro To Macro Mechanics
です
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/7 23:12 | 最終変更
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
COVID-19のため、夏休みを取れないけど
数学と物理の謎に目覚めてしまった
中学・高校の方々も、ひょっとして見るかも
知れない事を期待して

中高生の謎に対する、新鮮な考えを裏切らないのが
本来の18世紀頃から本格的追求が始まった
数学や物理の世界で、実際に起きてたことなんだと
その一端を証明するのに
この例ほど、ハッキリしたものは少ないと思われます

とかく、謎には現代の時代、冷や水を浴びせられる
事が多いのですが
この現代という時代を切り開いた当人たちの
生の声を聴くところから、すべては明かされる

現代の理解では、"量子"と言えば
"Hilbert空間のベクトル"が合言葉のようになっていて
その数学的対象と、いくつかの物理的仮定で
"コペンハーゲン解釈"という量子力学の標準的考えを
矛盾なく説明できることで
量子といえば、Hilbert空間って事になっている

ところが、この論文を書いたSchrödingerこそ
たった一人で、Heisenbergの行列力学と
彼が見つけた波動方程式とが等価である事を
引用した論文の中で証明したのだった

彼が、この論文で言いたいことは
これまで、どの本でも、ネットでも聞いた事のない
ものでした
問題そのものの意義は、多くの数学者や
物理学者が共有する問題意識であったため

まったく別の視点から、Herman Weylという
20世紀最大の数学者によっても考えだされ
wigner_weyl 変換とかと呼ばれているが
wikiは、英語版しかありませんが
https://en.wikipedia.org/wiki/Wigner%E2%80%93Weyl_transform
Weylが構成したのは
Liouville方程式という、Newtonの法則と等価なものを
粒子が沢山ある系で、一言で表現したようなもので
そこに登場する分布関数というものから
量子力学の演算子を導く式を組み立てたものです
また、逆に、 量子力学の演算子から、分布関数を導く
wigner変換というのもあります
難しい言い方になっちゃいますが
Liouville方程式というNewton方程式と等価なものの
量子versionであるLiouville_von Neuman方程式を
wigner変換すると、wigner関数で書いたMoyal方程式
というものになる事まで分かっています
そして、h→0で、Moyal括弧は、ポアソン括弧になり
古典的Liouville方程式になるというのがwikiの説明で

そうは問屋が卸さないっていうのが、Tomio Petrosky先生です
極の場合は、留数定理で値が決まるけれど
h→0のような真性特異点の場合は、そう簡単には言えないことが分かります
"ハイゼンベルグの神懸かり"
https://ameblo.jp/texas-no-kumagusu/entry-12567549982.html
の右下の方にあるコメント一覧の中で
いろいろ検討させていただく中で
この論文までたどり着いたって訳です

一言で言ってしまうと、量子力学と古典力学の関係って
一体どうなっているんだろう...という普通みんなが言っている既成事実の
裏側を見ようとしている訳です

この論文で、Schrödingerが言ってることは
energy固有関数という量子の空間的振る舞いを表わす関数は
断片のようなもので、すべての固有関数を無限にすべて足すならば
その固有関数に特徴的な母関数表現が出現する
つまり、無限に続く等比数列の和が、1つの式で書けるような事が
関数の無限和で生じていて、その和の関数の包絡線こそが
古典論に従う運動方程式から導かれる軌道に一致する事を
1次元の系で証明し、3次元も解けるが、その時点の
数学の発展段階では厳しいと締めくくっている

Fermat予想の欄外のコメントに似てますね

Schrödingerの方法では、最後にψの実数部分を取るのだが
それによって、観測による収縮現象に抵触せずに、古典構造が
ψの実部の包絡線として得られるという主張なのだ
投票数:0 平均点:0.00
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OK_like-mj  常連   投稿数: 657
Tomio Petrosky先生のコメントを読んでいて

1996年1月1日に施行された
Uruguay Round協定によれば
著作権の期限は著者の死後70年なので
Schrödingerが鬼籍入りした1961年1月4日から
未だ59年と1か月と29日しか経過していません

を忘れていた事に気づきました
出版社からクレームが入ったら直ちに
Heroさんに手をついてお願いし

The Continuous Transition from Micro To Macro Mechanics

の訳の部分を削除してもらうしかありません
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OK_like-mj  常連   投稿数: 657
量子力学の Schrödinger方程式が
どのように生まれたのかを
私は、12年前にやっていたブロク(今は凍結中)で
検討したことがありました

このサイエンス・フォーラムの物理スレッドの
前進の物理フォーラム
http://fphys.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?forum_id=7
の量子力学・場の量子論など複数のスレッドで
議長であられたTOSHIさんのサイト(TOSHIの宇宙)
http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/
でも、コメントさせて頂き、お教え願ったり
トピックをサイト内で検索し参考にさせて頂き

ある結論に至りました
その全容を、最近 Tomio Petrosky先生のサイトで
コメント欄に投稿しましたので
ここに、見やすい形で再掲します
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OK_like-mj  常連   投稿数: 657
そのブログで検討した中に

解析力学の関係式に
p_q=(∂S/∂q)
というのがあって
ψ=e^i(S/h)という関係を天下りで導入すると
p_qψ=(∂S/∂q)ψ=ψ(∂S/∂q)=-ih(∂/∂q)ψ

この式の一番左の式のψは
ただ意味なく、q座標方向のpに掛けているダケなのに
一番右の式では、その掛けたダケのp_qが
演算子-ih(∂/∂q)の機能を果たしている事を見つけました
これは結構うれしかったのですが、ただそれだけの事です

この関係式が生まれるのは、eという函数が微分して
その形を変えないため、合成函数の微分で指数の肩の函数
の微分が、たまたまp_qになるために成立します

ああ、これが演算子の出現なんだと
当時は、よろこんだ経験をしました
------------------------------------------
実は、それよりももっと重要な関係に
その時、気づいたのです
決定的とも言える関係で
そのpointとなる関係が、何度も出て来る
p_q=(∂S/∂q)です
このp_qは、qと独立です
それを式に書くと、(∂p_q/∂q)=0ですが
この関係は、Sがp_qと、qの双1次式であり
定数を上手く選べば
S=p_q・qという、よく知られた作用の形から帰結します
より正確には、S=∫p_qdqと書くべきかも知れませんが

この関係は、驚く事に
(∂S/∂q)^2という、Hamilton_Jacobi方程式の
非線形性を特徴づける項を、"線形化"します

前回の関係を繰り返すと
p_qψ=(∂S/∂q)ψ=ψ(∂S/∂q)=-ih(∂/∂q)ψ
という演算子の働きは、すべて古典論の計算の結果ですが
pointは、ψ=e^i(S/h)が微分して形を変えない点にあります
そこで、ψ(∂S/∂q)=-ih(∂/∂q)ψを、もう一度微分すると
(∂ψ/∂q)(∂S/∂q) + ψ(∂^2S/∂q^2)=-ih(∂^2q^2)ψ
ここで、左辺第2項が、先ほどの関係で消え
ψ・i/h(∂S/∂q)^2=-ih(∂^2q^2)ψ
(∂S/∂q)^2=-h^2(∂^2q^2)
お馴染みの、ラプラシアンになってしまうのです

つまり、演算子の論理が、古典力学の論理から
従うだけでなく、運動方程式が線形化する論理も
そこには存在しています
線形化は、とても重要です
Fourier展開が、意味をなすのも、線形方程式ならでは
ですから
------------------------------------------
以上は、12年前に見つけて喜んだだけで
合成函数の微分を知っていれば、誰でも簡単に
計算できる事ですが

こういう背景は、演算子の出現やSchrödinger方程式の
舞台裏にあるなんて話しは、聞いた事がありませんでした
ちょっとは、役立つかも知れません
------------------------------------------
12年前に思っていたのは
量子力学の論理が出て来る"ほんの直前"までは
あろう事か、演算子の働きや、方程式の線形性までもが
e^i(S/h)を、古典論に含めてしまえるなら

すべて古典論の論理で、貫徹していると思えてしまう
という意味で、量子力学と古典力学は同じだ
って思っていた時期がありました

だって、ψ=e^i(S/h)を使う以外は
計算の仕方は、全部、古典力学の計算なのですから
そういう意味では、物質波の方程式の方向へと進んだ
Schrödingerの道は、Hamilton_Jacobiという
表現の形式があったおかげで、量子の従う方程式の
"ほんの直前"まで、古典論でたどり着く事が可能だった
って事が分かります

それでも、確立した方程式の存在が明らかな現在だから
そんな呑気な事が言える訳で
未知の状態では、いくら方程式ができたからって言っても
それが量子の本質を現わしているなどとは、そう簡単には
言えない訳ですから、その出現した線形方程式を解いて
水素原子のenergr準位が、前期量子論の結論と一致したり
Bornがノルムを存在確率になっていると明らかにしたり
Heisengergの行列力学との数学的一致が分かったりと
次々に、その意味が明らかにされるのは
Schrödinger一人では、決して出来た仕事ではありません
------------------------------------------
あの数学の権化のようなWEYLが
こんな簡単な合成函数の微分の関係で
演算子が出て来る事に気づいていなかったとは
到底思えませんが、気づいていなかったから
あのような変換を考えたのではないか

Weyl変換は、数学ですが
ここまで見て来た内容は、HamiltonやJacobiが
作用Sという物理的に重要な、運動の存在形式を越えて
値のみならず、法則をも、つないでいる量の表現形式を
数学的に極限まで追求した結果分かった事です
18世紀以来、物理では"作用"という量の意味は
時代を経るごとに、存在感をまし、最終的に"原理"にまで
上り詰めます
力学の数学的形式の最終的な形とも言えるのが
Hamilton_Jacobi方程式に結実している感じで
これが、"作用"という、波の位相を表現できるものを
解として求める形の方程式に書かれたのは偶然にしては
出来過ぎです

なんか説得力ありますよね
------------------------------------------
先生の問い
"演算子が出現したり、方程式が線形化するのは
量子を扱っているからなのか"
は、とても深いと思います

つまり、ψ=e^i(S/h)から、hを取り去った
何だか意味不明の波ψ=e^iSであっても、同じ計算が
成り立ち、位相を作用Sとする、いろんな話しが出来ますが
やはり、それは違うだろうって思います

Sをhで割るのは、Sの大きさが、hと同程度の状況に対して
その式が意味をもつ証しでもあります

何だか分からない波であってはいけないと思います
電磁波は、Maxwellで記述せねばならないし
海の波はNavier_Stokesで、固体中の波は原子の集団運動
として記述します
具体的な対象ごとに、記述のやり方が違います

ただ量子の場合には、記述する対象の現象論的法則は
波の示す一般的な回折や干渉以外に
対象が示す運動原理への手掛かりが、Maxewllのように
存在しません
間接的に、原子からの輻射の線spectrumが分かるだけです

やはり、運動する物体の古典力学の極まった記述形式Sを
物質波を表現するψの肩に、hで割って入れたのは
ギリギリの選択だったと思えます

こうして、古典力学の中心力場の中を運動する対象として
記述していながら、同時に、波の性質を表現できた
信じられない程の完成度があります
------------------------------------------
物理的には、e^i(・・・)・・・は無限級数ですから
単位が相殺されて、ただの数字になっている必要があり
Sを分子に置きたいなら、分母も作用の基本定数である
必要があります

少なくても言える事は
Sがe^i(S/h)と"肩に乗って"しまうなら
Sの内容や、その他の計算規則一式を古典論で行って
演算子の論理と、線形偏微分方程式までのフルセットが
得られるという事実があります
------------------------------------------
しかしながら
ただ肩に乗るだけの事が、実際には三途の川を渡る程の
意味をもっているんだと思われます

肩に乗っている以外のすべてが、古典論で仕切られていても
もうそこは、あの世になっている気がします

ただ肩に乗るだけの事に、これ程の深い意味があるなんて
誰も思いやしません
------------------------------------------
e^ix が複素平面の単位円を表現している
などという数学の話しは、18世紀のEulerが知ってた事で
幾何学的には、単純な話しですが
この函数は、Fourier展開の基底として
その後大活躍し、線形微分方程式を代数方程式の問題に
してしまう働きがあるため、物理でも無くてはならない
基本的な関数です

量子力学では、この複素函数に
作用という量子の世界と古典論の世界をつなぐ媒介量を、
中心力場の中を動く電子の"古典論の方程式"で書き下し
その運動する電子本体が持つ、その作用量を
この複素函数の位相にあてはめると
この函数が微分で形を変えない事が功を奏し
その非線形な古典論の方程式を線形化し
重ね合わせの原理が成り立つ解けるものにするのみならず
この函数を座標で微分するという操作が
運動量を掛ける操作に置き換わる働きが生じている
------------------------------------------
なぜ、位置座標の微分が、運動量の積を生じるのか
それは、肩に乗っている作用の位置座標の微分が運動量
だからです
微分した事で、合成函数である肩の荷を微分して
降ろした格好になるからです

また、非線形の元である(∂S/∂q)^2も
(実は、これは運動量の二乗ですが)
肩の荷を降ろした形には、運動量が掛かっていて
もう一回、複素函数自体を位置座標で微分するなら
複素函数自体の微分は計2回目で
1回目で、形が残っていた分と、それに掛かる運動量を
交互に微分する格好になりますが
運動量の座標方向の微分は消えてしまうため
残っていた元の複素函数の微分と運動量の積になり
ここで最初に戻って、元の複素函数の微分は
微分した荷(運動量になる)を肩から降ろすだけですから
運動量の二乗が、元の複素函数に掛かる事になり
これが、複素函数自体を2回微分したものと同じになる
結局、運動量の二乗は、2回微分の働きに等しくなる
------------------------------------------
こうして見てきますと
古典論の構造と、複素函数が絶秒に関係しあっています

元々の運動方程式は、古典論ですが
複素函数が絡む事で、Hamiltonianのenergy項が
微分演算子にすり替わり、解の重ね合わせが成立します
また、時間の項も、上手くいきます
potential項は、そのまま残りますが、問題ありません
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/8 13:12
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
"空間や時間"の意味を、Planck Scale以下の
世界で考えるという問題から、遠い地点に
来てしまいました
そろそろ本題にもどるべき時ですが

手持ちの題材は、Penroseの"spin"周辺のもの
量子力学形成期の古典論との関係性
Einsteinが考えた"空間と時間"
くらいしかありません

最近の大栗さんの "entangleからの時空の生成"
も参考になるでしょう

これらの key word が、どのように整合して
極限的にミクロな"時空の姿"を描くのかが問題
となります

誰にでも開かれた問いですので

夏休みの宿題と考えても面白いと思います
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/9 7:48 | 最終変更
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
大栗さんの考えは、あの衛星講義で、かなり語り尽くされていますが
まとまった形では、T.Eguchi pdf ですぐにHitする
gravitation, gauge theories and differential geometry
https://empg.maths.ed.ac.uk/Activities/GT/EGH.pdf
ほど、ムダが削ぎ落された総説はない
大栗さんや、立川さんの師匠の故・江口徹さんは
ICM'90京都でFields賞を受賞したEdward Wittenさんと
数学セミナー誌上対談されましたし、業績紹介も書かれてます
数学者では、深谷賢治さんが、業績紹介を書かれています

また、Faddeevさんも、英文で業績紹介されています
"On the Work of E.Witten"
http://faddeev.com/wp-content/uploads/2018/03/On-the-work-of-Edward-Witten1.pdf

これまで、トポロジーの立体図形の変形に手術という考えがあるのは
知っていましたが、手術という方法を、無限に繰り返すようにして
経路積分の計算値が得られる話しに驚きました
この業績は、後に、岩波の基礎数学講座に、河野俊丈さんが
"場の理論とトポロジー"として、背景解説されるのですが
この河野さんに"組みひもの数理"という一般向けの面白い本があって
この本で、Atiyahという人がいるのを知りました
また、東北大の黒木さんの"なんでも掲示板"で、中島啓さんから
witten論文の質問へのお答えを頂いたりしました

おおざっぱに言って、経路積分を考えるってことは
この時空という空間の中のあらゆる可能な経路を考える
訳ですから、従来の場の量子論では
曲線で空間を埋め尽くすようなものです
曲線と空間には、2次元分の違いがあり
経路積分が発散してしまう事が多いと思われます
これをwittenさんは、曲面で空間を埋め尽くす手順を示し
有限の値を得ました

曲線という素粒子の経路は
仮想粒子の生成や、別の粒子と相互作用する局面で
経路が分岐するとき"点"が生じますが
曲面は、曲面のまま分岐することができます
これは、分岐した地点を特定できないとも
言い換えられるかも知れませんが
曲面で考えること自体が、非局所的なのです

実際に実行されて計算結果を出された事が、Fields賞になった訳ですが
河野さんの解説は、分かり易く書かれているのですが
それでも、河野さんの解説の解説が必要なくらいです

それでも、河野さんの解説によって、どのような数学が
それに関わっているのかの全体図が明らかになっています
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OK_like-mj

なし Re: ループ量子重力理論と超弦理論

msg# 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/9 8:29 | 最終変更
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
"量子"という、この時空上に存在するのかさえ
ハッキリしない対象であっても

波動関数という関数によって
私たちは、その存在を表現する事ができています
でも、その関数は
Maxwellの電場や磁場のように
関数値と測定値が一致するようにはなってません

物理量である電場や磁場と違って
波動関数から物理量を計算するには
その関数を微分したりした時に、形を変えない
という条件で、その関数の形そのものや
形を変えないが、定数が掛かります

そして、その定数が物理量なのです

つまり、微分したりする、その微分のやり方が
一回微分で運動量、二回微分でenergyの
数列のような形で、物理量が得られます

この時、そういう微分方程式の解は
運動量やenergyの、数列的な値に対応した
量子状態を表現しているのです

つまり、私たちが知っているように
物があって、一定の重さがあって運動していると
その物には、運動量やenergyが、物の性質として
切っても切れない関係で、その物がもっている

そういうような物理量と物との関係は
原子よりも、ずっと大きい物について言えることで

原子サイズの世界では、あらゆる存在は
空間中に広がって存在していて
だけど、互いに力を及ぼし合っているので
太陽系のような、原子という中心にプラスの
電荷をもった核があれば、一定のグルグル回る
構造を作って、広がって存在しているのが
電子な訳です

考えて見れば、太陽や地球の重さだって
直接計る方法など、ある訳がなく
間接的に知るしかないのですから

そうした核の周りの電子のenergyも
計算する方法があれば、それで納得するしか
方法はありません
運動energyだって、測定するのは速度で
(1/2)mv^2 で計算する訳ですからね
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OK_like-mj

なし Re: ループ量子重力理論と超弦理論

msg# 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/9 9:56
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
一方、私たちが飛行機に乗って移動している時

その飛行機の中で起こる現象を
地上から間接的に調べようと考えたのが
"相対性理論"です

飛行機の中で起こるあらゆる物の運動は
地上から見ると、飛行機の飛ぶ速さの分だけ
追加された速さで運動するように見える訳です

この誰でもが納得する正しい考えと

唯一、それをくつがえす"光"というものの運動を
結び付けた訳です

光は、たとえ、どこで発生したものであっても
その場所で生じたとは言い切れない
これな何を言っているかと言いますと
飛行機の中で、レーザーpointerを点灯したとします
この飛行機の中の点灯した場所は
その場所自体が動いていますが
点灯した瞬間の座標を考えると、その座標が
地球上のある1点であるのは間違いありません

ただ飛んでる飛行機内ではありますが

地球の自転する方向と、それに垂直な方向で
それぞれ光を往復させると
自転する方向では、部屋に居ながらにして
秒速何キロも、部屋は空間中を移動し
その垂直方向では、ほとんど移動はありません
ですから、飛行機に乗らなくても
この実験で、垂直方向が地上
自転方向が飛行機の中という実験ができるのです
そして、両方向の光を干渉させ微妙な違いを測るのですが
結果は、差が無いのです

飛行機の中でも光は地上と同じ速さって事です

これが先ほど、言った
飛行機の中という飛んでいるものの中で発生したのか
地上のある地点で発生したのかに差が無いという意味で
たとえ飛行機の中で生じた光であっても
地上の座標どこどこで発生したものと区別がない
ことが分かります

ここからが肝心なのですが
地上からは、飛行機の中のすべてのモノは
飛行機の飛ぶ方向に、一定速度で移動します
つまり、光の発生した地点は、地上では
決まった座標ですが
飛行機の天井に向けそこに置かれた鏡で
光を折り返す実験の場合、天井の鏡や
折り返して戻った地点は
飛行機の中では固定されていますが
地上から見た場合、鏡自体は、飛行機の速さで
動いてしまっています
この移動距離が相対性理論の時間の遅れを
生んでしまうのです

飛行機の中では、ただ天井に置かれた鏡との間を
垂直に往復したダケなのに、地上からは
光は、移動した天井の鏡で反射し床に戻るまで
三角形を描くのです
方や、直線距離なのが、三角形の斜辺になる

地球の自転を利用した実験で、たとえ実験室
が運動していても光の速さはかわらないので

地上からは、飛行機内の光は、同じ速さで
より長い三角形の斜辺を移動した事になる

その( 斜辺の長さ/ 光の速さ ) が実験終了までの時間です
これが、地上での時間経過になります
でも、飛行機内では
( 天井までの距離 / 光の速さ )ですから
値として、小さくなります
それでも、それが飛行機内では実験終了までの
時間です

この三角形の斜辺が、飛行機内の時間が
地上で見た場合に遅れる
( より長い時間かかって事件が完了する )
という相対論の効果です
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OK_like-mj

なし Re: ループ量子重力理論と超弦理論

msg# 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/10 4:46
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
特殊相対論では、一定した速さで動く飛行機内の
出来事を、地上で見ることを考えましたが

次の展開は、加速度運動する系では
一体どのような事が考えられるのかという問題です

この考察から、重力場方程式という
この宇宙全体を相手に、それを記述してしまう
方程式が生まれました

この問題は、落下するエレベータで起こる事を
考える事で分かります

よく宇宙飛行士が無重力状態に慣れるため
飛行機に乗り込んで、一定高度で飛行機を
自由落下状態にして、その中でプカプカ浮いているのを見ますが、アレです
あの飛行機の中の重力は、ほぼ消えた状態ですが
あのような実験を、地球上の至る所で行える事から
局所的に見ると、重力は自由落下する系内では消える
つまり、加速度運動する系の加速度と重力は相殺される
重力と加速度を区別できない事が分かります

この"等価原理"によって、重力の問題を
運動する系の運動のあり方の問題に変える事ができた
さらに、局所的な運動する系をつないで、重力が影響する
全領域である球面を覆い尽くす方法を、微分幾何学の方法で
実現出来る事が分かったのだ
それでも、この接続をするには
加速度運動する系を、運動した状態で接続しなければならない
それを可能にするのが、特殊相対論をMinkowski計量のような
4次元形式で表現し、さらに、その計量表現が加速度系を表現
できる事を示す必要があるだけでなく
そうした計量表現を、最終的には、現象を引き起こす原因の
重力とつなげなければならない

この最終的に方程式ですべてつながるようにした
その考えの参考にしたモデルは、重力場のNewtonの表現を
場の方程式に書いた、poisson方程式を目指したのだ

そもそも特殊相対論を加速度系に拡張すると
何が起こるのかが最大の難問だが
最終的に、光の進行経路が曲線になるという結論に達した事で
すべての話しが幾何学的に構成可能になったと思われます

この湾曲効果は、一般相対論が完成した後
実際に検証されることになるが
この推論を生み出すまでに、何年もかかったものと思われます
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OK_like-mj

なし Re: ループ量子重力理論と超弦理論

msg# 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/10 21:34
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
ICM'90京都のwitten論文を
大栗さんが、あの衛星講義の中で噛み砕いて
いました
Chern-Simons Theory (Japanese)
https://ocw.u-tokyo.ac.jp/lecture_1060/

テキストもあります
英語ですが、講義は2つある日本語版の1つで
https://ocw.u-tokyo.ac.jp/lecture_files/sci_03/sp3/notes/en/ooguriA3.pdf
pdfを見ながら聞けば、黒板の見にくさは解消します

河野さんの岩波基礎数学の"場の理論とトポロジー"
が敷居がかなり高いのに、同じ内容を
あれよアレヨって言う間に構成してしまいます
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OK_like-mj

なし Re: ループ量子重力理論と超弦理論

msg# 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/11 5:28 | 最終変更
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
世界中の数学者を前に、Fields賞をもらった程の
数学的にも完成度をもった論文であっても

やはり、wittenは物理学者だったんだって
思わせてくれました、大栗さんが!!!

ややこしいKac-Moody Lie環の論理が織りなす関係
など分からずとも、最も重要な業績の核心が
Chern-Simons作用による経路積分の計算を
多様体の手術でやった事なのは、私にも当時すぐ
分かりましたが、実際に具体的に値を出すとこまでの話しが
分かるには、通常ものすごく遠い道のりを
誰しも想像できてしまい、あきらめます
大栗さんのGaussのLinking積分の
Topologicalな意味の話しから次々に
eの肩に乗った積分を、多様体のTopologyによって
次々に解ける形にして行ってしまう技の凄さは
ただ圧巻って事で、片付けられません

今までの物理の全歴史の中で
数学の剥き出しの骨格だけが使われ
数学者が、厳密に整合性をもったつながりを
見つけ出す裏側で、一気に核心へと迫る事の
できる物理の存在を、これ程明確に提示した
例は、過去に無かったと思います

言ってしまえば、この講義は
Motibationの高い高校生にも理解できる形に
なっているから、凄いのです

受験勉強なんか、やってらんない程
熱に浮かされてしまった中高生を夏休みの時期に
刺激し、一気にその世界へと誘導してしまう
力の存在が、そこにはあります

Caltechの大栗さんの弟子の多くが
世界の名だたる大学等の教授職に収まり
一定の業績を挙げられるのも
この講義を見れば明らかだ

GaussやEuler、Galireoを始めとして
ものごとの核心をつかんで離さない
ごくわずかな人々の周辺は、いつの時代でも
そういう雰囲気だったのは明らかです
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OK_like-mj

なし Re: ループ量子重力理論と超弦理論

msg# 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/11 6:41 | 最終変更
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
"ゲージ理論"が現在あまりにも数学的であり
運動方程式は、どこかへ行ってしまった
気がしていた私の疑問を、確かにまだ
運動方程式の重要性は失われてはいないと
少しは思えるものを見つけました

ゲージ理論
テキスト
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hamanaka/2020-07-31_note.pdf
音声
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hamanaka/20200731.mp3

なさっておられるのは
ADHM/Nahm構成法とその双対性
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~hamanaka/soken_ADHMN.pdf

アインシュタイン牧場
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~masashi.hamanaka/
が有名な浜中真志さんです

この音声による講義のテキストを見ると
ゲージ理論が、作用の変分原理から
運動方程式を求める様子がハッキリします

この講義も、大栗さんの講義のように
物理の講義としては立派なものです

でもプロとしてやって行くには
彼らの論文を見れば明らかですが
かなり、数学の深みに浸かっています
この深みに、なかなか耐えられないんですよね

ただ。世界"広し"と言えども
大栗"博司"さんの衛星講義は類を見ません
https://ocw.u-tokyo.ac.jp/course_11330/

本を勉強するだけでは
きっと数学の深みに飲み込まれてしまいます
でも、この講義は、その数学の本質を
一気に通り抜けられるものとして描いています

また大栗さんのspeed感が
数学という山の頂上をjumpして飛び移るのが
実感できます
厳密な話しをし始めたら、jumpできません
でも、このjumpこそが
数学を1点に押し込める"神業"なのです
世界で、大栗さんのみが出来る業と思います

他の人は、jumpするのを見た事などないからです

でも世界にもう一例あって
それが数学者の故Sir Michael Atiyahだった
って訳です
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OK_like-mj

なし Re: ループ量子重力理論と超弦理論

msg# 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/12 8:09 | 最終変更
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
そもそも、wittenさんのICM'90論文
quantum field theory and the jones polynomial
https://people.maths.ox.ac.uk/beem/papers/jones_polynomial_witten.pdf
は、タイトルにあるように
同時受賞したJonesさんの結び目の多項式表現を
計算に使っている訳です

講義の冒頭でおっしゃられているように
Chern-Simons作用が、計量によらない事が
すべての計算をTopologycalな図形の問題に還元できる訳です

そこまでは素人でも、すぐに分かるのですが
実際どう計算できるのかの方向性は
その論文が出るとすぐに、岩波基礎数学講座に
解説された"場の理論とトポロジー"も
分かり易いとはいえ、さらにその解説が必要なくらいのものなのです

この大栗さんのICM'90論文の解説は
何度繰り返し賛辞しても足りないくらいです
まあ、すべての講義全体がそうですが
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OK_like-mj

なし Re: ループ量子重力理論と超弦理論

msg# 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 .2 | 投稿日時 2020/8/13 9:52 | 最終変更
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
こうした大栗さん周辺は、たいへんに賑やかで
画期的な成果が出続けている訳です

まあ、そうしたが奇跡が生まれ続ける事態に
幸運な面があるのも否定できないかも知れませんが
その秘密の1つに、謎の在処を嗅ぎ分ける
EulerやGaussやRiemanといった人たちと同じ能力
が一部の、大栗さん周辺の人に備わっているから
とも言える訳です

それでも、20世紀初頭の量子力学革命と比べた場合
今現在の文明の中核をなす、いろいろな
家電から、大型機械の制御機構に至るまでの
技術的基盤にある半導体回路といったものが
真空管からトランジスターへと飛躍するのに
その可能性の扉を感じさせ、挑戦を決意させた
のは、量子力学による結晶内電子の理解にあるのは
間違いないでしょう

量子力学が、製鉄所の溶鉱炉の放つ光の色で
温度を知り、望んだ形で制御するために
始まった事で、事実そのような制御が可能になり
より高い精度の鉄の精錬をやっておられるのでしょうが
標準理論を検証するのに、巨大なマネーを使い
LHCを建設し、調べるのは、理論のための理論
であり、人の技術的課題の介入はありません

つまり、人の文明の基盤にあるような技術との
かかわりを欠いたまま、理論から理論へと
突き進んで行ってます

ですから、Higgs粒子の確認で理論の基盤が
確かなものになったとしても
その理論と現実との間にある溝の深さは
計り知れない程であって、そこから直接
文明の基盤技術がそう簡単に生まれる事は
難しいと思われますが、量子力学が生まれた時の
ような技術的課題の現代版は
集積回路の量子限界を根源的に抜け出す道の
量子gateを生成させるentangle制御が
室温超伝導実現を要請しているとかが
技術からの要請であって
その解としての物理学の進化として
現在もっとも活発な分野がリンクする可能性は
不可能に近いと思われます

この問題は、そもそも
室温では、超伝導にならいという否定的結果を考えてしまう程
臨界達成温度の対時間軸上昇は止まったままです

量子力学創成期のような黒体輻射問題のように
電磁気の矛盾から量子の存在へと、直結するような
展開はありえません

すべては、複雑で具体的な結晶構造内の電子が
cooper-pairというBosonを室温という具体的温度で
生成するための具体的物質の組成や結晶構造が
問題になっていて、そこに原理的問題が絡む
単純さは、今の所、謎として提起されていません
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OK_like-mj

なし Re: ループ量子重力理論と超弦理論

msg# 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/13 10:26
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
私たちが直接理解でき計測できる
マクロな量で構成される電磁気現象や
古典力学の最終形とも言える体系が孕んでいた
矛盾を解消する形に、これまで進展したのは
自然の作りの幸運だったのでしょう

残された課題は、どれも複雑に見え
自分の尻尾を飲み込んだヘビのように
この課題を一気に解決する量子コンピュータ
によって実現の扉の存在が明確になる
室温超伝導という基盤技術そのものを
量子コンピュータ実現のために必要としています

分野が交錯しますが
分子生物学での免疫の理解や
ウイルスと人との関係を考えても

現在のような状況が延々と続く可能性もあります

人の認識以前に、もともと存在している
自然の形が、人がちょうどイイ感じで
認識を深め、技術に応用できるように
作られている保証など無いのですから

ある意味、20世紀初頭からの物理の展開は
そうした希望が叶った人類の歴史でしたが

今後、どうなることやら

こうした状況が長く続くと
嘘でも良いから鼓舞する動きが出るのは必然です
経済などは、成長する前提のような所があります

借りたお金の利息を返すには、成長が前提であり
自転車操業のように、成長を前提に
どの国でもやっています
経済は、画期的な産業に応用できる発見が
次々起こるという前提で、成長という前提を
可能にしています

この図式は、20世紀の量子力学の発見が
半導体産業を生み、支えましたが
いつまで成長を続けられるのかは
自然自体が元々もっている作りにかかっています
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OK_like-mj

なし Re: ループ量子重力理論と超弦理論

msg# 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2020/8/13 11:12
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
量子力学が誕生する前の時代は
DNAの存在すら知られていません

物理では、熱力学が蒸気機関を胚胎し
流体力学は、熱力学で可能になる内燃機関が
ガソリンを燃料に軽量化を実現し
はじめて航空機につながります

そうした技術的目標は20世紀に
すべての気が熟し、一気に開花しましたが
今では、そうした出来事は当然な前提として
文明の基盤に組み込まれていますが

Leonardo da Vinciの時代にいくら航空機構想を
もっていても、もっとも重要だった動力源がありません

たまたま、前世紀初頭に、すべての気が熟し
怒涛の展開となっただけで
それまでの人類は、ある意味、想像するしか
出来ない世界に幽閉される事に甘んじるしか
なかった訳です

でも、現代文明の時代に生まれれば
それらのものは、あって当たり前の世界です
もっと凄い事ができると思って当然で
そういう努力を延々と続けるしか他にする事が
無い訳ですが

大変な時代になりました

免疫については、原理的問題がありませんから
何れ全貌が分かり、あらゆる自己免疫系疾患や癌さえも
理解する時代が来るでしょうが


そうした理解によって、ヒトを含めた生物の
根幹にふれた問題によって、解決不可能という
結果が出ないとも言えません

そうした疾患を病として捉えるのは
あくまで、ヒトの都合ですからね
まあ、生き生きとし全身の老化を抑えた状態で
長生きするのは結構なことでしょうが
ベットに拘束された状態で生きる人が増えると
経済の担い手が、とても苦労することになります


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OK_like-mj

なし Re: ループ量子重力理論と超弦理論

msg# 1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2020/8/13 12:17 | 最終変更
OK_like-mj  常連   投稿数: 657
室温という条件だけの実現なら
とても高圧下だけれど、ほぼ室温近くまで
臨界温度が迫っています

ただ、ものすごい高圧かけるために
系の構成は、ダイヤモンドの尖った先端の
ようなとても狭くてエリアの拡大が大変そうな系でやられています
それでも、人々の実現への挑戦は
あらゆる可能性に手掛かりを求め挑戦が続いています

そうした系を何mもの配線上に封じ込めるという
技術的課題が難問なのでしょうが
一番の根本問題の"温度の壁"目前なのですから
可能性は開かれた状況にあります
wikiによれば
水素化ランタン化合物が170GPa(170万気圧)の超高圧下において
250K(-23℃)で超電導状態になることを
ドイツのマックス・プランク研究所が発見し
Nature(2019年5月23日号528ページ)で報告した

を最後に、捏造が続いているとあります

本気の画期的展開が起こっている最中には
そうした捏造はあったとしても誰も見向きもしません
誰だって、本物のすごい展開の方を注目しますからね

捏造に目が向くって事は、本物の画期的展開が
立ち止まっている証しです
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