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ループ量子重力理論と超弦理論


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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/2 12:32 | 最終変更
OK_like-mj  常連   投稿数: 239
以前、立川裕二さんが
研究内容の選択で、"超弦理論"と2択で
"ループ量子重力理論"があったとおっしゃられた
事がありました

その理論の基盤には、Roger Penroseが編み出した
Spin NetworkやTwistorがある
ツイスターの世界
- 時空・ツイスター空間・可積分系 -
2005.05 共立出版 高崎 金久

複素射影空間へmappingする手法は
代数幾何学のやり方と似ていると当時は思ったが、今
2009年3月の浜中真志さんの書評を拝見すると
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/62/3/62_0623420/_pdf
instantonの一般的作り方のADHM構成法の原点であったりします
数学の大統一に挑む
https://www.amazon.co.jp/dp/B0111OGVTM/ref=dp-kindle-redirect?_encoding=UTF8&btkr=1
をKindleで読み、旧ソ連の実情が分かったり
Gel'fandの逸話が,Landau並みなのに驚きました
もっとも、参考になったのは
"層"という数学的対象の理解の仕方です
この層というのは、佐藤幹夫の超函数の定義域
であり、多項式の本質、素数の本質とも関係する
複素函数や複素多様体に展開される構造ですし
ツイスターの記述とも関係します

また最近、すごい物理学講義
https://www.amazon.co.jp/dp/B0842ND5YD/ref=dp-kindle-redirect?_encoding=UTF8&btkr=1
をKindleで読み

以前、大栗さんが
大栗博司+三浦雅士
世界の見方を変える超弦理論 最前線
平凡社刊 こころ Vol.31 2016
p26~p55
で語った内容を、何れ消えてしまう可能性がある
物理フォーラムから転載します
【引用開始】
超弦理論と次元
三浦 その新しいデュアリティーの現象をもう少し
    具体的に言うと?
大栗 次元が変わってしまう現象があるんです
    「光子の裁判」は非常に巧妙に光の
    粒子的性質と波的な性質の両方が
    存在することを説明してくれていますよね
三浦 「光子の裁判」と同じように、今度は
    それが現象する場面自体= 空間も
    問題にせざるを得なくなるような現象
    ということですか?
大栗 そうです。まず1つは、舞台だった時間や
    空間のとらえ方が変わります
三浦 つまり、舞台そのものが変化してしまう
    という点が決定的に違うところなんですか?
大栗 たとえば僕らが今、2次元の上の空間に
    住んでいるとします。高さのない世界、縦横や
    前後の紙の上にしか行き来できない
    それが(紙を筒状にして)こんなふうに丸まっていた
    とします。縦方向に行けば真っ直ぐ進みますが、
    横方向に進めばぐるぐる回る。この世界に住んで
    いる人は、歩いて行けば元の場所に戻ってきます
    から、世界が筒状になっていることが分かりますし
    その半径も分かります。ところが、この世界に住む
    人が点ではなく、ヒモ状に広がったものだったとすると
    違う現象が現れてくるんです。点であれば
    どの方向に進んでいるか、ぐるぐる回っているのか
    どのくらいの速さか、といったぐらいの運動しかないのに
    ヒモ状だと、もう1つ新しい形態があって、筒に巻き付く
    事ができる。しかも、2回でも3回でも巻き付ける。
    点の粒子にはなかった新しい形態です。そこで、筒の
    半径を変えたときに、どうなるか考えてみます。
    筒のサイズが小さければ短くても巻き付けますし、軽い。
    たくさん巻き付いたものでも筒のサイズが小さければ
    軽い粒子ができる。そのことが、ヒモを使った空間や
    時間認識と、点を使った空間や時間認識との違いに
    なるんです。そもそもユークリッド幾何学の公理が点の
    特徴づけから始まっているように、これまでの幾何学は
    すべて点を基礎にしてきていました。アインシュタインの
    一般相対性理論の基礎となったリーマン幾何学に
    してもそうです。ところが弦理論になると、基礎になるのは
    点ではなく、1次元的に広がったヒモなので、今度は
    空間の形や時間の振舞いをヒモがどう見るか、それを使って
    空間を見ればどう見えるか、ということのすべてが問題になって
    きてしまった。そのことは最近は数学でも非常に盛んに研究
    されていて、4年に1度授与される数学で最も権威ある
    フィールズ賞-広中平祐さんや森重文さんが受賞された-
    は1990年代から今に至るまでの半数近くがその分野の
    研究に与えられているほど重要な話題になっています。
三浦 トポロジーということですか?
大栗 それも含まれますが、幾何学全体をヒモで見ると
    どのように見えてくるか、「弦の幾何学」と言ったりしますが
    まったく新しいいろんな現象が見えてきているのです
三浦 すると、たとえば筒を実体的に考えるからおかしく
    なってしまう訳で...。
大栗 僕らからすれば筒というのは筒の形にしか見えないのですが
    ヒモを使って観測すれば全然違った現象がある。
    たとえば今おっしゃったトポロジーは、空間の性質を分類する
    方法ですね。ボールとドーナツはトポロジーが違うと言い、
    それによって、空間を分類している訳です。ところが、それは
    点を使って観測した結果なんです。弦を使ってトポロジーを
    定義すると、これまでトポロジーが異なると思われていたものが
    連続的に変化したりすることもある。つまり空間の分類が
    1次元的に広がった弦を使えば異なって見えてくる。
    点を使って幾何学を作って来た僕らにはそういう直観的な 
    感覚はないのですが、自然界の一番基礎のところが1次元的に
    広がった弦で出来ているところから出発し、それを使って空間を
    観測して理論を作ると、これまでの幾何学の分類、空間の形
    とはまったく違った分類になることが分かってきたんです。
三浦 その場合の弦というのは、点や線とは違う定義になりますよね?
大栗 無定義用語なんです。 一番基礎のところですから。
三浦 ああ、そうか。
大栗 空間の1次元的な部分を線としている訳です。
三浦 長さはあるのですか?と聞いていいのでしょうか?
大栗 もともとの空間にあった測り方で測れば長さはありますが
    それは点粒子の言葉での表現です。
三浦 すると、長さというのも幻想の1種ということになりますか?
大栗 そうですね。1つの空間の記述の仕方で、僕らは点を使って
    幾何学を構成してきた-空間の中の場所は点で決まって
    その間の距離を測ることができる-のですが、まったく違った
    幾何学の作り方もある。
三浦 すると、超弦理論というのは基礎の部分から全部変えていく
    ということ?
大栗 空間や時間の考え方をやり直そうとしている訳です。
    なぜならこれまでの空間や時間の考え方では、どうしても
    重力と量子力学をうまく合わせることができないからです。
三浦 アインシュタインとハゼンベルクを、ということですね?
大栗 点を基礎にしたリーマン幾何学を使って作られたアインシュタイン
    の重力理論と、ハイゼンベルクやパウリの量子力学が、1世紀
    ぐらい科学者が研究していてもどうもうまく組み合わさらないのは
    どうも基本的な問題があるのではないか、と。
三浦 出発点に立ち返って考え直してみる?
大栗 そういうことです。
三浦 すると、僕らが考えているよりずっと巨大な話しですね。
大栗 これまで考えられてこなかった新しい幾何学に立脚することで
    重力と量子力学との統合の困難を解決しようとしているんです。
三浦 そうか。僕ら素人はどうしても点の考え方の延長線上でヒモを
    イメージしていたようです。
大栗 もちろんそれは自然なことです。でも、そうではなく、広がったもの
    を考えることでこれまでとは違った幾何学を作り、それに基づいた
    新しい重力理論を作ろうということなんです。
三浦 それはもうまるっきり想像しにくい。
大栗 できないですよ。だって僕らは点粒子に基づいた幾何学で
    生きている訳ですから。
三浦 そうか。先ほどの階層の話しになりますが、点と線という考え方
    というのは...。
大栗 その階層構造は、そもそも点を基礎にした幾何学を前提に
    している訳ですよ。
三浦 えーっ、階層構造そのものが?
大栗 そりゃそうです。距離とかいう話しですから。よりミクロな世界
    というのは、より距離が短いということでしょう。
三浦 そうか。でもヒモを基礎にした新しい数学にも新しい階層構造
    がありうる?
大栗 あるかもしれません。でもこれまで点を基礎としてきたような
    よりミクロなところへ行って、より基本的な理論を作るという
    道筋はもう終わっている訳です。
【引用終り】

まだ、他のテーマでも話されておりますが
上記引用の部分は、間違いなく他に類を見ないので
引用いたしました

ここで語られた内容に近いものが
すごい物理学講義にありました

Carlo Rovelliは、時空以前を量子の構成法で
描き出しています
具体的に構成した事で、具体的な問題が
計算可能ですから、検証ができるって訳です

彼は、"LHC"で"超対称性粒子"が見つかっても
見つからなくても困らないと言います
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/2 12:54 | 最終変更
OK_like-mj  常連   投稿数: 239
大栗さんが何度も繰り返しおっしゃるように
"Planck Scaleで、階層は終わる"のだ

上記、2冊の面白い本
"すごい物理学講義"
https://www.amazon.co.jp/dp/B0842ND5YD/ref=dp-kindle-redirect?_encoding=UTF8&btkr=1
"数学の大統一に挑む"
https://www.amazon.co.jp/dp/B0111OGVTM/ref=dp-kindle-redirect?_encoding=UTF8&btkr=1
と、もう1つあります
あの黒川信重さんの片腕、小山信也さんの
"リーマン教授にインタビューする"
https://www.amazon.co.jp/dp/B07CY1QZQ2/ref=dp-kindle-redirect?_encoding=UTF8&btkr=1
これは、書籍版でもっているのですが
この本で、"解析接続"の意味が本当に分かりました

また、黒川さんの"絶対数学"
https://www.amazon.co.jp/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E9%BB%92%E5%B7%9D-%E4%BF%A1%E9%87%8D/dp/453578552X
は、一元体F_1ってものが、打ち出の小槌のように、いろんな関数等式を生み出す理由を知るには欠かせません
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/2 13:24
OK_like-mj  常連   投稿数: 239
Carlo Rovelliは、時間は熱現象のような
"平均的な現象"によって生み出されると言う

まあ、それでも
"熱"が分子1つでは、運動energyという
原理的に測定可能な量と結びつき、概念的にも
energyという単位をもつという側面は
ミクロな存在が、量的な違いでマクロと
つながっていると理解できるのは
どう考えろって言うのだろう

空間そのもののspectrumを考えるまでは
できたが、時間の問題は、そうたやすいとは
言えないのだろ

Tomio Petrosky先生たち、Prigogine学派が
導いた結論である、拡張されたHilbert空間から
時間の一方向性が、力学以外の仮説なしで
導かれている

考え抜かれているのだ

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/7 5:15
OK_like-mj  常連   投稿数: 239
量子重力での一番の問題は
構築すべき基本的概念の1つ1つが、古典論的ではない事です
でも、私たちは古典論的にimageするしか出来ない

この問題を、どう乗り越えるかなんだと思います

問題の根源は、"量子"というものを"古典的"
にimageできない点にあります
一般的には、Hilbert空間中のベクトルが
"量子"の数学的表現で、Unitary変換で時間変化を
追跡できると考えられています
場の量子論の摂動計算も、こうした数学的背景の
上に構築されています

存在の空間的広がりは、測定の論理によって
古典論的空間の一点に姿を現す作りになっています
ところが、時間の概念は、古典論のままです
事象生起の順序という因果関係の論理は
人が、ものごとを理解整理する上での根源であり
この単純な数の順序を、他の考えに置き換える
なんて出来そうにありません

しかも、空間の1点に古典論的に姿を現すという現象を
時間的変化として追跡することは原理的にできず
測定した瞬間に1点に出現すると考えられています

それでも、物理として先へ進む事ができたのは
運動方程式の存在があり、原理的に時間変化を
追跡可能と考えられているからです

理解の困難さの根源である
空間的に、かなりの広がりをもって
存在している"量子"の古典論とのつながりを示唆する論文がある
あのSchrödingerが、彼の方程式を提出した年に
The Continuous Transition from Micro To Macro Mechanics
Die Naturwissenshaften,28,pp.664-666,1926
という、とても重要な論文を書かれている事を知る人は少ない

完訳したので、とても短いものですのでupします
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2020/8/7 5:24 | 最終変更
OK_like-mj  常連   投稿数: 239
The Continuous Transition from Micro To Macro Mechanics
Die Naturwissenshaften,28,pp.664-666,1926

de Broglie_1とEinstein_2の考えにのっかって構築すること
私は、時間の函数で力学系の座標を定義しようとする
力学の通常の微分方程式が"小さな"系には
もはや通用しない事を示そうとしました_3
その代わりに、座標と時間の函数ψ("波動関数")を定義する
ある偏微分方程式を導入する必要があります
振動する弦や、他の任意の振動系の微分方程式のように
ψは、時間の調和振動(即ち正弦波)の重ね合わせで与えられます
その振動数は、ミクロな力学系の分光学用語の"振動数"と
正確に一致します

例として、線形なPlanck振動子_4の場合、エネルギー函数は
(1) (m/2)(dq/dt)^2 + 2π^2ν_0^2mq^2

ここで、変位qの代わりに、無次元変数で置き換えれば
(2) x = q・2π√mν_0/h

ψは、次の固有振動の重ね合わせで求められます_5

(3) ψ_n = e^(-x^2/2)H_n(x)e^(2πiν_nt)
( ν_n = (2n + 1)ν_0/2; n = 0,1,2,3... )
H_nは、Hermiteに因んだ多項式_6です
-----------------------------------------------------------------------------------
1. L.de Broglie,Ann. de Physique(10),3,p.22,1925(Thèses,Paris,1924).
2. A.Einstein Berlin Ber.1925,p.9 et seq.
3. Ann.d.Physik; に集録のessays
4. 即ち、直線上を運動する質量mの粒子は、
  直線上のある固定点に、その点との変位qに比例した力で引きつけられる
  力学によれば、その粒子は振動数ν_0で振動します
5. iは、√-1を意味します 通常、右辺は実数部が取られます
6. 【参照】Courant-Hilbert,Metheden der mathematischen Physik,I.chap.ii.§10,4,p.76
(Berlin,Springer,1924).
------------------------------------------------------------------------------------- p.41 ---
もし、それらにe^(-x^2/2)と、"規格化因子"(2^n・n!)^(-1/2)を掛けると
それらは、Hermiteの直交函数と呼ばれ、固有振動の振幅を表します
図1に、最初の5つを示します これらがよく知られた弦の振動と似ているのはとても重要です
粒子の力学を扱っていると分かっているなら、そのように固有振動で過程を記述するのは
すぐに変だと気づきます
この簡単な例によって、高次("量子数")nの固有振動の集団と、それより小さい次数の集団の違い
("量子数の差")が、ふつうの力学によって"運動"する、即ち、振動数ν_0で振動する"粒子"の
マクロな力学への直接的な移行となる事を証明したい
A>>1という1つの数(即ち、1と比べ極端に大きい)を考え、次の固有振動の足し合わせを作ります
(4) ψ=Σ(A/2)^nψ_n/n!=e^(πiν_0t)Σ((A/2)e^(2πiν_0t))^n(1/n!)e^-(x^2/2)H_n(x)

このように正規化された固有函数は、上で見たように、以下の係数が採用される
(5) A^n/√(2^n)n!
これは、容易に分かるように_1、隣り合うn-番目の比較的小さな集団から、値を抜き出した結果です
(6) n=A^2/2
-----------------------------------------------------------------------------------
1. z^n/n!を、nの函数と考えると、zの大きい値に対して、n=zに孤立した極めて高い、とても尖った
最大値を取ります. z=A^2/2とし平方根を取りると、(5)の数列を得ます
-------------------------------------------------------------------------------------- p.42 ---

(4)の級数の和は、xとsの次の恒等式_1によって求められます:

(7) Σ(s^n/n!)e^(-x^2/2)H_n(x)=e^(-s^2+2sx-x^2/2)
n=0
従って
(8) ψ=e【πiν_0t-(A^2/4)e^(4πiν_0t)+Axe^(2πiν_0t)-x^2/2】
さて、ここで右辺の実数部をSEとり、少し計算すると次を得ます
(9) ψ=e^(A^2/2-(1/2)(x-Acos2πν_0t)^2)cos【πν_0t+(Asin2πν_0t)(x-(A/2)cos2πν_0t)】

これが最終結果で、最初の項に注目です
それは比較的高くて狭い"丘"で、"Gaussの誤差曲線"になっており
ある瞬間に、次の位置の近くにあります
(10) x=Acos(2πν0t)
丘の幅は1の大きさのオーダーで、それ故、仮定によりAと比べ、とても小さい
(10)により丘は、(1)をenergy函数とする粒子の通常の力学と同じ法則に従って
振動します
xの振幅はAなので、q表示では
(11) a=(A/2π)√h/(mν_0)
力学では、この振幅で振動数ν_0で振動する質量mの粒子のenergyは
(12) 2π^2a^2ν_0^2m=(A^2/2)hν_0
即ち、(6)からnhν_0に一致します
ここで、nは対象となる集団の量子数の平均値です
このように"対応"は、この点に於いて完璧です
(9)の第2項は、一般的にxとtにより速く変化し、1と比べ小さな絶対値をもつ函数です
それは、図2に概念的に示すように、第1項の形の中を多くの深くて狭い溝が
かき分けて進むような、波の集団を作ります
図2のx軸の単位は、図1より小さく取られています
図2を5倍すると、図2と直接比べられます
(9)の第2項のさらに正確な考察は、図2には見られない詳細な展開を導きます
粒子の内部の溝または波束の数と幅は、時間で変化します
波束は、中心x=0を通過する時に、もっとも多く狭くなります
そして、x=±Aを越えると、なめらかになります
----------------------------------------------------------------------------------
1. Courant-Hilbert,(58)式参照

それは、(10)によってcos(2πν_0t)=±1ならば、sin(2πν_0t)はゼロですから
(9)の2項は、xとは独立になります
それでも、波の集団("粒子の密度")の完全なる拡張は、いつだって残ってしまいます
"波の形"の変化が、速度に依存すべきなのは
波動力学のすべての一般的側面からも分かり易いのですが
今この点のこれ以上の議論は望みません
我々の波の集団は、光学の例に見られるように
いつでも小さなままで、時間と共に広がったりしません
分かるように、これは1次元には限りませんが
弦上の山は、まったく同様に振る舞います
簡単に分かるように、(4)のような、xやyやzで書かれる2つか3つの表現を掛け合わせる事で
平面や空間的振動子を表現できます
即ち、調和的楕円軌道_1を描く平面や空間の波の集団です
また、例えば、時間と共に分散する古典光学の波束とは違い
その波の集団は小さなままとどまります
その違いは、我々の集団が、分離した離散的な調和成分で構成されている事に起源があり
そのような連続的起源ではないからです
結果的に、次の点に注目されたい
(3)のすべてのν_nに、加算される一般的な付加定数C(粒子の"残留-energy"に対応)は
決して本質を変えない事です
(9)の括弧の二乗に、2πCtを加える事になるだけです
従って、波の集団内の振動子は、時間的に、より速く振動しますが
振動子の集団全体としては、(10)で与えられるように、"波の形"には影響しません

以下の点は、間違いなく予見できる
同様な方法で、高度の量子化されたKepler楕円を運動する波の集団を
構築でき、それが水素内電子の波動力学の表現になっている事です
しかしながら、計算の技術的困難さは、ここで扱った特に簡単な場合に比べ大きい
----------------------------------------------------------------------------------
1. 過去に、平面的振動子の量子準位が整数で、空間的振動子では半整数になる
  という興味深い事実がある事を指摘したい 回転子についても同様です
  半整数性は、分光学的にはとても重要で、空間の次元の偶奇性に関係している
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OK_like-mj  常連   投稿数: 239
論文中の図を見ないと、分かりにくいですので
原論文を参照ください
https://ia801600.us.archive.org/20/items/in.ernet.dli.2015.211600/2015.211600.Collected-Papers.pdf
のp53~が
The Continuous Transition from Micro To Macro Mechanics
です
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