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ダークマター・フリードマン方程式の解き方とアインシュタイン宇宙


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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 .2 | 投稿日時 2019/9/26 12:53
entangle1  半人前   投稿数: 87
フリードマン方程式の最終形式は
https://teenaka.at.webry.info/201803/article_6.html
「フリードマン-ルメートル方程式の導出」を参照とします。
http://archive.fo/J8wTb)
それで、このページの一番下にある式がスタートラインとなります。

ά^2=H0^2*(Ωγ/a^2+Ωm/a+(1-Ωγ-Ωm-ΩΛ)+ΩΛ*a^2)
という形をしていますが、物質優勢期以降を主に扱いますので
放射項はΩγ≒ゼロとすることになり、最終的には
ά^2=H0^2*(Ωm/a+(1-Ωm-ΩΛ)+ΩΛ*a^2)
という式を解く事になります。

H0は現在の宇宙のハッブルパラメータ
Ωmは今の宇宙の物質密度を臨界密度で割った値
ΩΛは今の宇宙の宇宙定数、あるいはダークエネルギー密度を臨界密度で割った値
そして
Ωk=(1-Ωm-ΩΛ)であり、それは宇宙の曲率を表し、
Ωk>0がマイナス曲率の宇宙
Ωk=0がフラットな宇宙
Ωk<0がプラス曲率の宇宙を示します。
(注意:ここの所、Ωkの符号と宇宙の曲率の符号がひっくり返ります。
これは、先人がそのように決めましたので仕方ありませんね。)

実際にはά^2という2乗の形では微分方程式は解けませんので
ά=±H0*SQRT(Ωm/a+(1-Ωm-ΩΛ)+ΩΛ*a^2)
という形の微分方程式を解く、という事になります。

ここで+H0は宇宙が膨張過程にある時に相当し、-H0は収縮過程にある時を表します。
a=a(t)であって、時間によってaの値が増減する、それをフリードマン方程式は表しています。
そうして、ビッグバンというのはこの式から必然的に現れるのではなく、ある特定の初期条件を与えるとその様な解が得られる、そう考えるのがよさそうです。
つまりフリードマン方程式は時間とともに膨張する宇宙を表すだけでなく、収縮する宇宙もまた表すことができるのです。

初期条件としては
a(0)=1
H0=1、あるいはH0=-1を与え
それから
ΩmとΩΛの現在(t=0)での値を決める、
これはΩk=(1-Ωm-ΩΛ)の関係から結果的には現在の宇宙の曲率を決める事にもなります。

以上をフリードマン方程式に代入し、この微分方程式を解く事でスケール因子a(t)の挙動が分かる、という事になります。
つまりそれは「想定した宇宙の膨張、収縮の様子がわかる」という事です。


さてそれで、具体的にフリードマン方程式を解く方法ですが、もちろんここはwolfram alphaさんにがんばっていただくと、そういう話になります。

まずはウルフラムさんが理解できるように数式を表現します。
ά^2=H0^2*(Ωm/a+(1-Ωm-ΩΛ)+ΩΛ*a^2)

ά=±H0*SQRT(Ωm/a+(1-Ωm-ΩΛ)+ΩΛ*a^2)

『x’=-(2.1/x-(1.10001)+0.00001x^2)^0.5,x(0)=1』

初期条件
H0=-1、Ωm=2.1、ΩΛ=0.00001、a(0)=1を代入した場合はこんな風になります。
Ωk=(1-Ωm-ΩΛ)=(1-2.1-0.00001)=-1.0001です。

これを
『ルンゲ・クッタ法でx’=-(2.1/x-(1.10001)+0.00001x^2)^0.5,x(0)=1を-10.8から20.5まで解く, h = .005』
と書いてウルフラムに入力しリターンするとこうなります。

http://archive.fo/jznvI

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%83%E3%82%BF%E6%B3%95%E3%81%A7x%E2%80%99%EF%BC%9D-%EF%BC%882.1%2Fx-(1.10001)%2B0.00001x%5E2)%5E0.5,x(0)%3D1%E3%82%92-10.8%E3%81%8B%E3%82%8920.5%E3%81%BE%E3%81%A7%E8%A7%A3%E3%81%8F,+h+%3D+.005

上記計算実行のアドレス


ちなみにhは数値計算での最少刻み幅の設定の様です。
この値は細かい方がより精度は出ますが、計算範囲との兼ね合わせで計算時間が決まり、細かすぎると計算時間オーバーとなりますので、計算範囲を考えながら適切な値に決める必要があります。


以下
https://blog.goo.ne.jp/rokusanasukor/e/ca999fca6c061d7cdfb3e7879b528df7
「ダークマター・28・DMと宇宙論・フリードマン方程式とそのグラフ」からの引用です。

『さてこのa(t)をつかって宇宙の膨張の様子を示したグラフがあります。

宇宙の未来について(5)
https://teenaka.at.webry.info/201803/article_21.html

a(t)を求める式の形は以下のページを参照願います。

宇宙の未来について(6)
https://teenaka.at.webry.info/201803/article_22.html
スケール因子の時間発展をオイラー近似で解く

式の導出については個別に勉強していただく事とし、今は結果のグラフのみに注目します。


(5)では一番左にある④の線(黄色)が、(6)では左から2番目の赤色の線が「同一の状況」を示しており、現状認められている「再加速あり」の宇宙の膨張曲線となります。
そしていずれのグラフも縦軸がa(t)の「スケール因子」となっています。
そうして横軸がリニアスケールでの宇宙の展開時間tでt=0が現時点、そこでのa(t)は上記説明のように1となっています。

同じグラフですが
type@asset+block/week3_all.pdf" rel="external">https://lms.gacco.org/asset-v1:gacco+ga092+2018_01+type@asset+block/week3_all.pdf
「gaccoシリーズ Week3」
の35ページにも載っています。
少々色が見分けにくいのですが、緑色の線が現在の宇宙の状況、そうして青色の線が「ダークエネルギーがない場合(宇宙が再加速しない場合)の状況」となります。』

さてここで上記(6)で一番左側にあるグラフを描いてみましょう。

初期条件
H0=+1、Ωm=0.3、ΩΛ=1.7、a(0)=1
Ωk=(1-Ωm-ΩΛ)=(1-0.3-1.7)=-1
従って解くべき式は
『x’=(0.3/x-(1)+1.7x^2)^0.5,x(0)=1』
計算範囲はー3から0.6まで、刻み幅は0.005でいいでしょう。

そうするとウルフラムさんに入力する文章はこうなります。
『ルンゲ・クッタ法でx’=(0.3/x-(1)+1.7x^2)^0.5,x(0)=1を-3から0.6まで解く, h = .005』

http://archive.fo/rGTol

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%83%E3%82%BF%E6%B3%95%E3%81%A7x%E2%80%99%EF%BC%9D%EF%BC%880.3%2Fx-(1)%2B1.7x%5E2)%5E0.5,x(0)%3D1%E3%82%92-%EF%BC%93%E3%81%8B%E3%82%890.6%E3%81%BE%E3%81%A7%E8%A7%A3%E3%81%8F,+h+%3D+.005

上記計算実行のアドレス

ここで得られたグラフは随分と過去に向かって間延びしているものです。

これは物質密度Ωm=1.0と設定した宇宙定数Λがゼロのフラットな宇宙(アインシュタイン・ドジッター 宇宙) では恒星の年齢の方が宇宙の年齢よりも古くなる、という矛盾があり、かつてはそれが問題でした。
そうして、それを解決する為の手法として「宇宙定数Λを導入する事で宇宙の年齢を調節する」というものです。
宇宙の加速膨張が検出される前はこうした目的で宇宙定数Λは議論され、その前はアインシュタインが「宇宙の動きを止める為」に宇宙定数Λを考えたのであります。


という訳で、あとはご自由にいろいろな初期条件で計算し、その結果を確認される事をお勧めいたします。

PS
4次ルンゲ・クッタ法を使ったフリードマン方程式らしいものを解いている資料を見つけました。

https://www.oit.ac.jp/is/shinkai/seminar/thesis/2013higashida/2013_Bthesis_higashida.pdf
・宇宙論パラメータによる宇宙膨張則の比較ツールの作成

4次ルンゲ・クッタ法についての簡単な説明も13ページにありますので、ご参考までに。


https://blog.goo.ne.jp/rokusanasukor/e/7f6b375b88809d2047b1c5060a01c46b
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧


http://archive.fo/vWTj3
http://archive.fo/f9j5b
投票数:0 平均点:0.00
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2019/9/26 13:09 | 最終変更
entangle1  半人前   投稿数: 87
最初はアインシュタインが1917年の論文で発表したアインシュタイン宇宙から始めましょう。

それは
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

アインシュタイン方程式のページの「宇宙項」に記述があります。(http://archive.fo/lC94a

『アインシュタインがこの項を導入した理由については諸説あるが、一般に有名なのは、彼自身が信じる静止宇宙モデルを実現するためという説である。
1917年論文の宇宙モデルは重力と宇宙項による反重力とが釣り合う静止宇宙だった。』

しかしながら、まずはアインシュタインの問題認識から始めます。
これもまあ諸説ありますが、「有限の宇宙空間に物質が一様に分布していたら、その空間はいずれは収縮するだろう」という認識がベースにある、という考え方を採用します。

それはたとえばこういう状況ですね。
初期条件
H0=ー1、Ωm=2.1、ΩΛ=0、a(0)=1
Ωk=(1-Ωm-ΩΛ)=(1-2.1-0)=ー1.1
それで解くべき式は
x’=-(2.1/x-(1.1000))^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’=-(2.1/x-(1.1000))^0.5,x(0)=1を-10.8から20.5まで解く, h = .005』
結果は
http://archive.fo/8rssb

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%83%E3%82%BF%E6%B3%95%E3%81%A7x%E2%80%99%EF%BC%9D-%EF%BC%882.1%2Fx-(1.1000))%5E0.5,x(0)%3D1%E3%82%92-10.8%E3%81%8B%E3%82%8920.5%E3%81%BE%E3%81%A7%E8%A7%A3%E3%81%8F,+h+%3D+.005

実行アドレス


t=ー2.3あたりでH=0、つまりこの時点ではこの宇宙は膨張も収縮もせずに静止しています。
しかしながら臨界密度の2倍以上の物質があるので重力により収縮が始まる。
そういうありさまを示しています。

「いや、そうはいうものの、本当にt=-2.3でH=0なの?」と聞かれそうです。
それでH0=+1でこの宇宙の前半がどうなっていたか、確かめてみる事になります。

初期条件
H0=+1、Ωm=2.1、ΩΛ=0、a(0)=1
Ωk=(1-Ωm-ΩΛ)=(1-2.1-0)=ー1.1
それで解くべき式は
x’=(2.1/x-(1.1000))^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’=(2.1/x-(1.1000))^0.5,x(0)=1を-10.8から20.5まで解く, h = .005』
結果は
http://archive.fo/JNf7k

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%83%E3%82%BF%E6%B3%95%E3%81%A7x%E2%80%99%EF%BC%9D%EF%BC%882.1%2Fx-(1.1000))%5E0.5,x(0)%3D1%E3%82%92-10.8%E3%81%8B%E3%82%8920.5%E3%81%BE%E3%81%A7%E8%A7%A3%E3%81%8F,+h+%3D+.005

実行アドレス


ビッグバンから始まったこの宇宙はスケール因子が1.9あたりまで膨らんで、そこがこの宇宙の大きさのピークになっています。(注1)
そうでありますから、あとは収縮するしかない訳で、膨張から収縮に変化するその瞬間にH=0が実現していることがわかります。

ちなみにウルフラムの4次ルンゲ・クッタ数値解析法ではάの値がプラス無限大、あるいはマイナス無限大になると、それはつまりビッグバンのスタートポイント、あるいはビッグクランチのエンドポイントに相当する点ですが、そこでは計算値が発散し、計算終了となる模様です。
そうしてまた同様にάがゼロとなる点でも計算終了となる、そうなると初期条件H0=+1というのはビッグバンからάがゼロに至る膨張過程の計算をすることになります。
同様に初期条件H0=ー1というのはάがゼロからビッグクランチ(もちろんそう呼ばれるポイントがあれば、ですが)までに至る収縮過程の計算を指示していることになります。


さあそうなりますとアインシュタインとしては、そのH=0の瞬間を引き延ばせばよい、という事になります。
それで「重力に釣り合うように宇宙定数Λを導入する」ということになりました。

初期条件
H0=+1、Ωm=2.1、ΩΛ=0.0512599025、a(0)=1
Ωk=(1-Ωm-ΩΛ)=ー1.1512599025
それで解くべき式は
x’=1(2.1/x-(1.1512599025)+0.0512599025x^2)^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’=1(2.1/x-(1.1512599025)+0.0512599025x^2)^0.5,x(0)=1を-1.8から50.5まで解く, h = .005』
結果は
http://archive.fo/DCeUB

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%83%E3%82%BF%E6%B3%95%E3%81%A7x%E2%80%99%EF%BC%9D1%EF%BC%882.1%2Fx-(1.1512599025)%2B0.0512599025x%5E2)%5E0.5,x(0)%3D1%E3%82%92-1.8%E3%81%8B%E3%82%8950.5%E3%81%BE%E3%81%A7%E8%A7%A3%E3%81%8F,+h+%3D+.005

実行アドレス

さてこの宇宙、Ωm=2.1に対してΩΛ=0.0512599025と10ケタの精度まで調整してみました。
宇宙の大きさは宇宙定数Λの効果によって宇宙のピーク位置が1.9から2.73まで大きくなっています。(注2)
そうしてほぼ静止している様にみえる時間が一瞬からt=10からt=40までと随分と拡大しました。
しかしながらt=40を超えたあたりから再膨張が始まっています。
そしてほぼ静止している様にみえる場所は厳密にはά=0にはなっておらず、ほぼゼロなのですが、わずかにά>0となっています。

さて次にΩΛが0.0000000003ほど小さな値、ΩΛ=0.0512599022の場合はどうなるのでしょうか?

初期条件
H0=+1、Ωm=2.1、ΩΛ=0.0512599022、a(0)=1
Ωk=(1-Ωm-ΩΛ)=ー1.1512599022
それで解くべき式は
x’=1(2.1/x-(1.1512599022)+0.0512599022x^2)^0.5
入力文は
『ルンゲ・クッタ法でx’=1(2.1/x-(1.1512599022)+0.0512599022x^2)^0.5,x(0)=1を-1.8から50.5まで解く, h = .005』
結果は
http://archive.fo/vv8Xd

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%83%E3%82%BF%E6%B3%95%E3%81%A7x%E2%80%99%EF%BC%9D1%EF%BC%882.1%2Fx-(1.1512599022)%2B0.0512599022x%5E2)%5E0.5,x(0)%3D1%E3%82%92-1.8%E3%81%8B%E3%82%8951.5%E3%81%BE%E3%81%A7%E8%A7%A3%E3%81%8F,+h+%3D+.005

実行アドレス

t=27.5あたりで
ά=0、つまりピークに到達しています。(注3)
それをすぎれば後は収縮するのみ、来た道を逆にもどってビッククランチとなります。
確認されたい方はH0=-1と変更の上、妥当な計算範囲を指定して計算してみてください。

さてそういう訳で、アインシュタインの宇宙はロバストではありませんでした。
「とがった鉛筆を芯を下にして机の上に立てる」と、そういう事と同じであります。
こうしてアインシュタインの宇宙は最終的には再膨張するか、収縮してビッククランチにいたると、そういう運命である事がわかります。

このような話はΩΛを0.0512599022~0.0512599025の間で好みの精度まで上げて計算することは可能ですが、所詮は「宇宙の運動を止める事はできない」という事を再確認することになります。
つまりは「アインシュタインが目指した『永遠の静止宇宙』というのは宇宙項の導入では実現できない」とそういう事であります。

そうしてハッブルによる「宇宙は実際は膨張している」という宣言によってアインシュタインは最終的に宇宙項Λを取り下げる事になるのでありました。

PS
宇宙項Λはこうしてアインシュタインによって提案され取り下げられましたが、その後宇宙の年齢と一番古い恒星の年齢との間にある矛盾を解消するために再登場します。
そうしてそうこうしている内に「宇宙は加速膨張している」という発見によって、今度は「加速膨張の原因としての宇宙項=ダークエネルギー」として再度評価される事になったと、これはなかなか数奇な運命をたどってきたのであります。

注1
H=0の時のスケール因子aの値は簡単に計算できます。
x’=(2.1/x-(1.1000))^0.5=0ですから
2.1/x-(1.1000)=0
従って
x=2.1/1.1=1.90909090・・・・(->循環少数)

注2
注1と同様に
x’=1(2.1/x-(1.1512599025)+0.0512599025x^2)^0.5=0を考えます。
2.1/x-(1.1512599025)+0.0512599025x^2=0ですから、この式の根を求めればよいのです。
ウルフラム入力文は
『2.1/x-(1.1512599025)+0.0512599025x^2の根』で
結果は
http://archive.fo/gQXTE

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%EF%BC%882.1%2Fx-(1.1512599025)%2B0.0512599025x%5E2)%E3%81%AE%E6%A0%B9

実行アドレス

根は3つあり但し実根はマイナスエリアにあってプラスエリアには2つの虚根がある、という事です。
そして2つの虚根の実部は2.73613であり、この値はグラフからの読み値に合っています。

注3
同様にして
x’=1(2.1/x-(1.1512599022)+0.0512599022x^2)^0.5=0とします。
2.1/x-(1.1512599022)+0.0512599022x^2=0より
ウルフラム入力文は
『2.1/x-(1.1512599022)+0.0512599022x^2の根』で
結果は
http://archive.fo/EWTt8

https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%EF%BC%882.1%2Fx-(1.1512599022)%2B0.0512599022x%5E2)%E3%81%AE%E6%A0%B9

実行アドレス
根は3つあり全て実根です。
そしてプラスエリアの2つの根の内、値の小さな方に最初にぶつかり、そこでこの宇宙はH=0となります。
それでその時のスケール因子の値が2.73608という訳です。

注4
アインシュタインは開いた宇宙≒無限に体積があり物質が存在する宇宙を嫌った、という論点からまとめられた記事もあるようです。

http://www005.upp.so-net.ne.jp/yoshida_n/P15_01.htm
・アインシュタインはなぜ宇宙項を導入したか?

『アインシュタインの問題意識は、空虚な無限空間を拒否するという点において、コペルニクス以来の天文学者のそれと共通する。
・・・・・
無限に拡がった空間に無限大の物質があると仮定すると、あらゆる地点に無限遠を含む周辺からの影響が及ぶため、重力場を一意的に決められなくなる31)。
「物質は空間に瀰漫しているが、その総量は有限である」という状況を現実的なモデルで表現しなければならない。
こうして彼が到達するのが、空間が一様な正の曲率を持ち、閉じた球面を構成しているというモデルである。
この場合、空間はどの部分もほぼ一定の密度で物質を含んでおり、全ての物質から遠く離れた宇宙の辺境はどこにも存在しない。
・・・・・』
個人的な感想としては「開いた宇宙=無限に体積があり無限に物質が存在する宇宙」というのは当方の想像力をこえており、そうであればアインシュタインの立場「プラスの曲率をもった宇宙」というアイデアに賛同するものであります。


https://blog.goo.ne.jp/rokusanasukor/e/7f6b375b88809d2047b1c5060a01c46b
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧


http://archive.fo/vSdQQ
http://archive.fo/uXTgG
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entangle1

なし 追伸

msg# 1.2
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2019/10/11 17:21 | 最終変更
entangle1  半人前   投稿数: 87
上記記事によってアインシュタインの目指した宇宙のグラフを示すことが出来たのはなかなかのものである、と自画自賛しております。

まあそれはさておき、フリードマン方程式を解く事で空間やら物質やらダークエネルギーやらの振る舞いがそれなりにわかるよ、と言うのが次の記事のテーマ
「フリードマン方程式が教えてくれる事」
http://fsci.4rm.jp/modules/d3forum/index.php?post_id=17629
という事になります。

まあそれもこれもウルフラムを使う事で簡単にフリードマングラフが得られるおかげでありまして、時代の進歩に感謝する次第であります。

ところで今年のノーベル物理学賞が決まった模様で「太陽系以外の星系にも惑星があるぞ」という事を最初に見つけ出したお二人が受賞されました。

そうしてもう一人の方、ジェームズ・ピーブルズさんはどうやら今のがちがちの精密宇宙論、あるいは宇宙の標準モデルの構築に多大な貢献をされた方であるそうな。

そう言う訳でここは一応、須藤さんのご説明に耳を傾ける事に致しましょう。

「2019年ノーベル物理学賞は,物理的宇宙論における数々の理論的発見に対してジェームズ・ピーブルズ教授に、 また太陽と似た恒星の周りを公転する太陽系外の惑星の発見に対してミシェル・マイヨール教授とディディエ・ケロー教授の3名が受賞した。」
https://www.jps.or.jp/information/2019/10/2019_8.php

上記本文にも出てきますが
『・・・特に今回の主な受賞対象の一つとされているCMBの基礎理論に関しては、ゼルドビッチとその弟子であるスニャーエフもまた、同時期にほぼ同じ結果を発表している。
その意味で、ピーブルズにノーベル賞を与えるのであればスニャーエフも共同受賞すべきだとの意見もありえよう。・・・』

ノーベル賞を誰に与えて誰を除外するのか、その事は何時もながら難しい問題の様であります。


http://archive.fo/aVa1x
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