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Rieman予想について


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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2018/10/6 11:48
OK_like-mj  半人前   投稿数: 53
今月の話題で、目を引いた事例がある
あの Sir Michael Francis Atiyah氏が
Rieman予想を証明したというのだ

そこで、いろいろ調べていると
立川さんなどは、"寄る年波には勝てない"との
見解なのだが

氏の証明骨格に、Kurt Gödelの基礎論が
出てきている点が氏の見解の中心な気がした

ところで、"解析接続"なる用語が
黒川重信さんを始め、それを知るには
一松信さんの"留数解析"がいいとか
書かれてあるのは、そこに氏が数セミNOTEに
高校生の時投稿した、スターリングの公式の
証明の自慢なのか
ネットを検索したって
"解析接続"へのまともな説明が見当たらない

あのEulerの名前が出てくるとか
大栗博司さんが超弦理論の次元の説明で
使ったらしい、"1+2+3+・・・= -1/12"
の根拠が、"解析接続"にあるって訳だが

すでに、何十年も前に、かの森一刀斎が
"現代の古典解析"という著書の一項目で
解説している通り
本質は、1次元の自由度しかもたない実数上
では、特異点を乗り越える経路は存在しないが
複素平面の自由度があると、特異点を越える
連続なpathが作れるという事だ
この事が、さらに関数というものの本質が
高次元のドーナツに開いた穴の数とかで
捉えられる事へもリンクする話なのだ

"組みひもの数理"初版1993年 や
1990年のICM京都のWittenの
Communications in Commun. Math. Phys. 121, 351-399 (1989) Mathematical Physics
"Quantum Field Theory and the Jones Polynomial"
https://signallake.com/innovation/Witten89.pdf
の解説の本を岩波講座 現代数学の展開
シリーズの1つ"場の理論とトポロジー"
で、もっとも有名なのでしょうが
河野俊丈さんの遊星社の本の巻末参考文献で
Atiyahを初めて知った訳で
河野さんの"あゆみ"に載っていた若かりし頃の
投稿には、トポロジーの明確な視点と
その解析的形式の在り方というものを感じた
定義の羅列のような形式ばったやり口でなく
本質を伝える意識が初期の頃から見えていました

つまり、関数を高次元図形へと拡張させる
原点となるのが"解析接続"って訳だ
なぜ、こういう風に言わないのか不思議だ

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.2 | 投稿日時 2018/10/14 10:31
OK_like-mj  半人前   投稿数: 53
ポイントを整理すると
"有理型関数"が"正則関数の商"であって
特異点が"極"に限定される点が大きい
その"正則関数"は
ほぼ重要な関数を尽くし...
多項式関数、 指数関数、三角関数、対数関数、ガンマ関数, ゼータ関数 等

気になるのは、
正則と等価なのはLaplace方程式ですが
量子力学に出現するLaplacianにpotential項
をもった方程式の解で出る超幾何関数のような
佐藤幹夫さんの概均質空間に生息するようなもの
が気になるが、その辺りは、青本和彦さんが詳しい
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/45/3/45_3_208/_pdf/-char/ja
青本さんは、そうした複雑な関数が生息する場所の
トポロジー構造を明らかにされてきた訳で

"解析接続"というものが
次元の壁を越えて、その生息域の Topologicalな構造を
導く原理となり、決定的に重要な関数の性質を
単純に書き下すことに貢献しているのは明らかだろう

もっと単純な楕円関数は
トーラスのTopologyをもっている事で
楕円積分の計算は単純に書き下せる
トーラスには、独立な2つのcycleがあり
その線形結合で、任意のPath上の積分を
表現できるからだ
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2018/10/20 7:09
OK_like-mj  半人前   投稿数: 53
Atiyahを始め、物理にも関心を寄せる人たちには
Topologicalな図形、或いは数学的には
多様体と言うものの性質に、機能を集積しようと
して来た側面があると思います

一方、大栗さんの衛星講義に見るように
t'Hooft氏の行列模型など、物理に携わる方でも
幾何学的imageに拘らない方法論を駆使する人も
いる

Atiyah氏の"The Geometry and Physics of Knots"
https://maths-proceedings.anu.edu.au/CMAProcVol22/CMAProcVol22-Atiyah.pdf
は、Path Integral という無限次元を扱う
数学的定義の確立が難しい対象を
"有限次元にする方法"として君臨しているし
この方法論が与えた影響は計り知れない

一方、黒川信重さんの数学マニアックな
語り口で、しかも日本語nativeなメリットは
代数幾何の現代化の礎"Grothendieck"と
同時代を生き、"多変数解析函数論"の巻末で
氏と共に共同研究する写真が見れる"一松信"
さんの築き上げた土台の上に、より生き生きと
関数本来の具体的姿を様々に描き出す
言わば、佐藤幹夫哲学の本線を地で行くような
"絶対数学"という理念上に
展開して見せてくれます

果たして、Topologyと関数の具体性に
関係性を求めようとする事に
意味が、どれほどあるのだろうか

解析接続を調べて行くうちに
単純に、高次元図形に集約できない現実が
一方に存在する事に気づいた

ここに、佐藤哲学の"本地垂迹”と
René F. Thomの"cobordism"の文化の流れを
受け継ぐ "Sir"Atiyahの哲学が
真向ぶつかり合っている構図を見るのは
私だけだろうか

さらに、この問題、よく考えると
あのcyototuこと、Tomio Petrosky氏の
Chaosを越えた地点に成立する
不可逆性の本質
つまり、Petrosky氏が確立した
"ポアンカレ共鳴特異性"が
超函数の意味の構造を持ち
可逆な方程式から不可逆な方程式を導き
時間の対称性をマクロに破る原理が
そこに存在する
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/110765/1/KJ00004570753.pdf
話しとも、つながって来るように思う

すべては
無意味な無限を、如何に意味ある構造に
解消できるかという点に本質がある
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2018/10/20 13:45
OK_like-mj  半人前   投稿数: 53
"ホモロジー"
という道具は
目で見える図形のつながりがもつ一般的性質を
抽出し、高次元図形などの目で直接見ることが
不可能な図形を見る代数的方法だ

wtten氏にも影響を与えた土屋昭博氏が
2008年4月より7月にかけて東大数理で行った
ホモトピー論の講義
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/publication/documents/2008tsuchiya.pdf
の参考文献の筆頭は
AtiyahのK理論で
"cobordism"についても描き出されているが
categoricalな話しで構成されており

witten氏の公開対談
エドワード・ウィッテン博士に聞く
https://www.ipmu.jp/sites/default/files/webfm/pdfs/news28/08_Roundtable-J.pdf
に登場する戸田幸伸氏が
YouTubeで、"3 minutes 論文解説 01"
https://www.youtube.com/watch?v=6KjyzT1z5hI

で自身の理論を3分で説明されているような
話しなのだ
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