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2日前の変な夢


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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 .2 .3 .4 .5 | 投稿日時 2018/2/9 22:39 | 最終変更
伊豆倉 正敏  スタッフ   投稿数: 702
2日前に変な夢を見たのですが時間と共に気になってきたのでここに書き込んでみます。
専門外の素人のお目汚しすみません。
またテキストベースで書いているため分数記号の代用として/やべき乗を数値の上付きで書くところをヘ記号で無理矢理代用しているため書き違い・読み違い発生時は謝ります。
√記号はその後ろに記号の上の線が続くと解釈して下さい。

 フェルマーの最終定理
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86

について、色々な公式が判明した時代の命題だがパソコンが無い時代にそこまで複雑なアイデアだったのかとみていたら、設問が習った時の簡略化された命題ではなくて原文(正し日本語訳)では
>立方数を2つの立方数の和に分けることはできない。4乗数を2つの4乗数の和に分けることはできない。一般に、冪(べき)が2より大きいとき、その冪乗数を2つの冪乗数の和に分けることはできない。この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。

と言う事はもしかしてXYZのべき乗のnはもしかしたら足し算のべき乗例えば
X^n+Y^n=Z^n
が例えば片方を2とするとZ^n=Z^2×Z^(n-2)から割り算の数式がテキストベースでは書けないのですが無理矢理書くと
Z^2 = (X^2+Y^2) / Z^(n-2)
Z = √(X^2+Y^2) / Z^(n-2)
で証明できないかと、実際にフェルマーの小定理ではap−1 ≡ 1 (mod p)と割り算の余りはと言う式でで証明されています。
要はZ^nに注目していたけれど、Zを右辺と左辺で割ったZ^(n-1)やZ(の1乗)でも成り立つと様に仮定したのでは言う解釈です。

で更に気になったのが二項定理という定理でこれを変形すると次の式になります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%86
二項定理でn=2は
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
→x^2+2xy+y^2=(x+y)^2
→x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy (左辺がフェルマーの最終定理)
二項定理でn=3を左辺がフェルマーの最終定理にしようとすると
(x+y)^3 = x^3 + 3x^2×y + 3x^2×y+ y^3
→x^3 + 3x^2×y + 3x^2×y+ y^3= (x+y)^3
→x^3 + y^3= (x+y)^3 - 3x^2×y - 3x^2×y
二項定理でn=4を左辺がフェルマーの最終定理にしようとすると
(x+y)^4 = x^4 + 4x^3×y + 6x^2×y^2+ 4x×y^3 +  y^4
→x^4 + 4x^3×y + 6x^2×y^2+ 4x×y^3 +  y^4 = (x+y)^4 
→x^4 + y^4 = (x+y)^4 - 4x^3×y - 6x^2×y^2- 4x×y^3 - y^4
以下無限に続くので略

例えばn=4としてフェルマーの最終定理と二項定理を合成してしまうと
z^4  = x^4 + y^4  =  (x+y)^4 - 4x^3×y - 6x^2×y^2- 4x×y^3 - y^4

これを上で書いた初めの仮定と合成すると
z^2×z^2  = x^4 + y^4 = (x+y)^4 - 4x^3×y - 6x^2×y^2- 4x×y^3 - y^4
分数が使えないので------------------で代用して
z^2 =  (x+y)^4 - 4x^3×y - 6x^2×y^2- 4x×y^3 - y^4
   ----------------------------
              z^2 

  = (x+y)^4/z^2 - 4x^3×y/z^2 - 6x^2×y^2/z^2- 4x×y^3/z^2 - y^4/z^2

z=√ (x+y)^4/z^2 - 4x^3×y/z^2 - 6x^2×y^2/z^2- 4x×y^3/z^2 - y^4/z^2

式が難しそうに思うが証明は最終的には√(nが何になるかは分かりませんが)の結果が「整数」になればいいのだから
A.各引き算または足し算が全て整数の解を持てばとりあえず√内は整数となるので、Zは整数になる「可能性」がある。(√の結果が無理数になる可能ケースは無視する。)
B.各足し算・引き算それぞれの割り算の組み合わせの中に無理数が存在すれば、結果としてその小数点以下が残るので√の結果は無理数となりZは「整数になれない」
ただしB.の解釈には0.3333・・・・×3=1のような例外があるので例外を排除する必要がある。
という割り切りで証明したとみなせれるのではないかと言う仮定です。

でへんな夢というのは明け方頃、下の式のZ^2をX^2と間違えた夢でして
xが2以上の部分が有るところは全てx^n / x^2は整数となるので消えてしまうというまちがいでした。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2018/2/10 23:44
FarSeer08  常連   投稿数: 197
おつかれさまです。

テキストオンリーで書くことはこの会議室の重鎮の方々と同じで何ら遠慮することはないと思います。

しかし専門外のド素人としては、数式以外の部分が難解過ぎて手も足もでないのです。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2018/2/23 22:36
伊豆倉 正敏  スタッフ   投稿数: 702
すみません変な悪夢に巻き込んでしまって
ISO/IEC17025 試験所認定制度で「不確かさ」という言葉が有り、バサッと書くと出てきた値に対してどれだけのズレが見込まれるか例えば
・体積なら20度で校正された目盛りがあるホールピペットに対して冷蔵庫から出した時の水温との水の膨張率との差
・天秤を使うなら天秤誤差(校正した分銅、天秤内のJIS丸め等)
を全部要因として出して、それを2乗して足していき√(√=2)で割るというドツボにはまってなぜかそれがフェルマーの最終定理が連想で出てきて

zのn乗の自然数についてzの2乗×zの(n-2)乗のかけ算なんだからこれを左辺として、
zの2乗だけ左辺として残すよう両辺をzの(n-2)乗で割ってみても成立するのではないだろうか?
zが自然数なのだからzの2乗も自然数になるはずだし、何ならzの2乗についてもルートで割って自然数にならない事で証明できないだろうか?
若しくはこの時に右辺に来る数値に小数点以下の数が残るか、無理数が残れば自然数にならない事で証明できないだろうか?
幸い二項定理なら係数として出てくる数が
2乗なら2が1回→成立
3乗なら3が2回、4乗なら4が2回6が1回、5乗なら5が2回10が2回出てくる
という性質があるので使えないか
という変な悪夢を見たのでした。

そんな事で解けるなら数百年に及ぶ難題にはならないでしょうけれど
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2018/3/12 23:55 | 最終変更
伊豆倉 正敏  スタッフ   投稿数: 702
 こんばんは
 父が脳梗塞を再発し退院してから介護拘束で、仕事が終わってから母と買い物後
 2人同時で、痰の吸引+お白湯+ 薬+胃瘻注入2回を平行してやって
合間に夕食+気が滅入らないよう録画したテレビを見る事になり自由時間は21時を過ぎる生活です。

 なのに何かに取り憑かれたように数式が出てくるのですが、工業高校しか出ていない身としてはこれ以上やっても無駄なようなのでこれをアップしてやめようと思います。

x^n+y^n=z^n
に対して、y=x+a (aも自然数)と置き換えるとy^n=(x+a)^n
n=2は証明済みなので
n=3以上に対してyとして二項定理を適用して数式を入れるとz^nは元の式の通りでy^n=(x+a)^nに対してx^nがそれに加わるので、数式の羅列のx^nが2x^nとなりそれをn√または(1/n)乗してxを引いても整数にならない事を証明したらいいのではないかと、
z=x+b or z = y+b '= x+a+b'も考えましたが、上の仮定ならbを使わなくても証明できないかと思いました。

y軸がn乗のグラフは5乗で書きましたがn=4でいうと
二項定理でn=4をy=(x+a)とすると
y^4 = (x+a)^4 = x^4 + 4x^3×a + 6x^2×a^2+ 4x×a^3 +  a^4
これに x^4が足された物がz^4がフェルマーの大定理なので
z^4= 2x^4 + 4x^3×a + 6x^2×a^2+ 4x×a^3 +  a^4
ここからzを出すと(1/4)乗となりますが、自然数にならない事を証明する。
これを一般化して3以上では自然数にならないと出来ないかと思いました。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2018/4/10 22:03
伊豆倉 正敏  スタッフ   投稿数: 702
自己レス
zが自然数なのだからzの2乗も自然数になるはずだし、何ならzの2乗についてもルートで割って自然数にならない事で証明できないだろうか?の反証

3乗
14の3乗= 2744
70の3乗=343000
計 345744

2乗
588の2乗=345744
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2018/4/22 22:15
伊豆倉 正敏  スタッフ   投稿数: 702
nの数(べき乗)上がっても整数になるケースもあるのですね。
X=6^3=216
Y=3^3=27
  計243
Z=3^5=243
XZが同数なのは違反かもしれませんが表計算で出したら他にもケースがあるようです。
公開鍵暗号方式に使えたりして
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2018/4/29 1:17
伊豆倉 正敏  スタッフ   投稿数: 702
連休というのに、父の脳梗塞再発で胃ろう・定期的な痰の吸引・おしめ交換を含む介護拘束+家の用事で自分の時間は、出勤時間や食料品の買い出しや買い物以外等の言い訳が出来る用事が有る時のみ、母が家で介護できる内は看取りたい(人工呼吸器や点滴なら諦める)と言う状態なのですが、取り憑かれているのかその間合い時間に散発的にアイディアが浮かぶのが変だと感じる自分がいます。

 今日思ったのが歯医者で治療中に、図のようにフェルマーの最終定理(X^n+Y^n=Z^n)と三平方の定理(X^2+Y^2=Z^2)が似ていて、XYZのnを三平方の定理の四角形の面積に例えると、
三角形との共通線となるabcは、Xを例にすると
n=2以上の偶数なら2mとして X^n →四角形A 
線a=√X^n=√(X^2m)=X^m
n=3以上の奇数なら2m+1として X^n →四角形A 
線a=√X^(n+1)=√(X^2m+1)=X^m×√X
ところが三平方の定理は昔からabcに付いてはピタゴラス数という数値になる性質があるので(これは当時から知られていたようです。)それを利用してn=3以上ならXYZの3乗が全て成立する事は無いのでは無いかと思いました。
ピタゴラス数
http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/py_num/py_num.htm

(実はフェルマーの最終定理の証明が既に解かれた以上、別の方法でやっても「n=3以上では成立しない」解が出来るのではないかという変な思いと、当時はパソコンもなければ数式も限られていたので何について思いついて本の余白に書き込んだのだろうという疑問から抜けないのです。)
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2018/5/6 21:28
伊豆倉 正敏  スタッフ   投稿数: 702
すみません引用部に抜けがありました。
古代ギリシアの数学者ディオファントスの著作『算術』という本の中の次の所にメモ書きされていたものがすべの始まりだったそうで、元の元(算術の設問)の引用を付けて書くとこうなるそうです。

>第2巻第8問「平方数を2つの平方数の和に表せ[注釈 3]」の欄外余白に、フェルマーは
>立方数を2つの立方数の和に分けることはできない。4乗数を2つの4乗数の和に分けることはできない。一般に、冪(べき)が2より大きいとき、その冪乗数を2つの冪乗数の和に分けることはできない。この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - | 投稿日時 2018/5/30 21:16
ゲスト 
もしかしてチェックメイトしてないか?
nが1乗つまり普通の自然数の時は、四角が数値で三角形と共用する線分は√で三平方の定理成立、数値を√Xの2乗として考える。
nが2乗の時はピタゴラス数として当時から決まっている数値の法則数、組み合わせは無限大
nが3以上の時はピタゴラス数の中からの制約がある。
nが偶数なら線分は√で割れるはず。
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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2018/8/4 2:01
伊豆倉 正敏  スタッフ   投稿数: 702

なぜか父の胃ろう介護中の合間に出てきた妄想

今回の仮定はn乗数が偶数の場合のみとして考える。
通常はX^n+Y^n=Znで表される数式だがこれを三平方の定理の図にはめ込んでみる。
今回はピタゴラス数の公式で「 n 」を使用するためn乗の1/2として「a」を使用する。
つまり正方形としてはX^n+Y^n=Z^nだが三平方の定理にするため√にした線分をX^a,Y^a,Z^aとする。
これを三平方の定理に当てはめた図が添付図となる。つまりn乗が4ならaは2乗、n乗が6ならaは3乗となる。

各n乗を四角として三平方の定理の図形に当てはめると各線分はa乗となる。
ところが、XYZは整数である以上a乗しても整数となる。
また各線分が整数である以上ピタゴラス数の法則が適用されるが、a乗からXYZに戻した時に整数とならない可能性があるためbを予め掛けてみる。
その仮定では次の式が適用される。(ピタゴラス数の法則よりmnのべき乗が2で有ることに注意)
Xa=b(m^2-n^2) ,Ya=2bmn ,Za=b(m^2+n^2)
ここでべき乗が4の時にフェルマーの最終定理が成り立たない事の証明に使用された式を流用する。

仮定1 あるべき乗のが成り立つ時XYZに同じ係数が付いても比例するだけで数式は成り立つため最小の組み合わせで検証する。
例 3^2+4^2=5^2 が成り立つなら2倍した6^2+8^2=10^2でも成り立つ。そのため最大公約数があるならそれ割った最小の数で求める。

この時、Y^a=2bmnのため、X^a=m^2-n^2が偶数なら、Z^a=m^2+n^2も偶数となり2で割り切れる解が発生しより小さい数値で計算できる。
そのため mとnについてはどちらかが奇数で片方が偶数となる組み合わせが有りそれでもルートを外した数で、整数にならないことを証明できたらべき乗が偶数の場合のフェルマーの最終定理を証明できないか。
mが偶数(2C)、nが偶数(2D)の時、(2C)^2-(2D)^2=偶数 (2C)^2+(2D)^2=偶数
mが偶数(2C)、nが奇数(2D+1)の時、(2C)^2-(2D+1)^2=奇数 (2C)^2+(2D+1)^2=奇数
mが奇数(2C+1)、nが偶数(2D)の時、(2C+1)^2-(2D)^2=奇数 (2C+1)^2+(2D)^2=奇数
mが奇数(2C+1)、nが奇数(2D+1)の時、(2C+1)^2-(2D+1)^2=偶数 (2C+1)^2+(2D+1)^2=偶数

ところがmnのいずれかが偶数になるとY^aは2に加えmnのいずれかが2となるため4の倍数を含んだ値が√で割り切れる値が対象となる。
またY^aとZ^aは奇数となる組み合わせが最小値となる。
これが成り立つXYZの乗数について、nが2以上、aならば1以上で成立しないことを証明したらいいのではないか
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