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数列


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Allegro

なし 数列

msg# 1
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2015/12/8 6:44
Allegro  半人前   投稿数: 25
※ある別の数学掲示板にも掲載した問題です
(最速解答44分でした)
こっちにも掲載しちゃいます。

(チャレンジ問題(自作))

次の数列をよく眺めて、a,bをm1で、c,dをm2で表す式を求めて下さい。
(規則性があります)

m1=1の時,a=5,b=13
m1=2の時,a=2,b=7
m1=3の時,a=18,b=79
m1=4の時,a=13,b=61
m1=5の時,a=4,b=19
m1=6の時,a=32,b=163
m1=7の時,a=21,b=109
m1=8の時,a=6,b=31
m1=9の時,a=46,b=247
m1=10の時,a=29,b=157
m1=11の時,a=8,b=43
m1=12の時,a=60,b=331
m1=13の時,a=37,b=205
m1=14の時,a=10,b=55
m1=15の時,a=74,b=415
m1=16の時,a=45,b=253
m1=17の時,a=12,b=67
m1=18の時,a=88,b=499
m1=19の時,a=53,b=301
m1=20の時,a=14,b=79
m1=21の時,a=102,b=583
m1=22の時,a=61,b=349
m1=23の時,a=16,b=91
m1=24の時,a=116,b=667
m1=25の時,a=69,b=397
m1=26の時,a=18,b=103
m1=27の時,a=130,b=751
m1=28の時,a=77,b=445
m1=29の時,a=20,b=115
m1=30の時,a=144,b=835

m2=1の時,c=8,d=31
m2=2の時,c=4,d=19
m2=3の時,c=17,d=85
m2=4の時,c=7,d=37
m2=5の時,c=26,d=139
m2=6の時,c=10,d=55
m2=7の時,c=35,d=193
m2=8の時,c=13,d=73
m2=9の時,c=44,d=247
m2=10の時,c=16,d=91
m2=11の時,c=53,d=301
m2=12の時,c=19,d=109
m2=13の時,c=62,d=355
m2=14の時,c=22,d=127
m2=15の時,c=71,d=409
m2=16の時,c=25,d=145
m2=17の時,c=80,d=463
m2=18の時,c=28,d=163
m2=19の時,c=89,d=517
m2=20の時,c=31,d=181
m2=21の時,c=98,d=571
m2=22の時,c=34,d=199
m2=23の時,c=107,d=625
m2=24の時,c=37,d=217
m2=25の時,c=116,d=679
m2=26の時,c=40,d=235
m2=27の時,c=125,d=733
m2=28の時,c=43,d=253
m2=29の時,c=134,d=787
m2=30の時,c=46,d=271

--
//*********************************
★✩Allegro@長野県塩尻市✩★
ヾ(@⌒ー⌒@)ノ
♡西脇綾香(Perfumeあ~ちゃん)大好き
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FarSeer08

なし Re: 数列

msg# 1.1
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2015/12/23 19:19
FarSeer08  常連   投稿数: 197
Allegroさん、みなさん、こんにちは(^-^)/

 忘れた頃にコメントのつく会議室ということで……(--;

 数学記号は量や命題を簡潔かつ厳密に表せますが、その実態を把握するのは難しく、わたしにはナマギーリ神のご加護もないので、問題の数列をオクターブ神(Octave+GnuPlot)の力を借りてグラフにしてみました。

 これで何が起こっているのかは一目瞭然です。

上のグラフ)a, b は振動しつつ増加していますが、よくみると振動の周期は ともに 3 で、各回の周期の中での位置(m1 を 3 で割った余りで表される[位相のようなもの])が同じである点は一直線上にのっています。

下のグラフ)c, d も振動しつつ増加していますが、振動の周期はともに 2 で、各回の周期の中での位置(m2 を 2 で割った余り)が同じである点は一直線上にのっています。

 直線上に沿って点を集めると等差数列になるので、これらの元の数列は、等差数列(上のグラフでは 3 つ、下のグラフでは 2 つ)を組み合わせればできます。

 それをひとつの数式で表すには、強引な感じですが、m1, m2 をそれぞれ 3, 2 で割った剰余を使って各等差数列をずらして「重ね合わせ」ます。

 Allegroさんのリストと同じ形式で数列を表示するコードを書いてみました。

 数式の方は……下のコード内の式(もっときれいな表現があるのかもしれませんが)をここできれいに表示しようとしたらごちゃごちゃして間違いが入りそうなので、また後ほど〜。

<!DOCTYPE HTML PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN">
<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="ja" lang="ja">
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge" />
<head>
<title>FSCI MATH Progression</title>
<script language="JavaScript">
//<!CDATA[
var shell = {nl: "\n"}
var browser = {nl: "<br />"}
//var P = shell;               // Platform choice
var P = browser;               // Platform choice

const Pi = Math.PI;
function calc(){
	for (var M = 30, m = 1; m <= M; ++m){
	    var s = "m1="+ m +"の時,a="+ f1(m, 5, 2, 18, 8, 2, 14) +
                          ",b="+ f1(m, 13, 7, 79, 48, 12, 84);
	    document.write(s + P.nl);
	}
	document.write(P.nl);
	for (var M = 30, m = 1; m <= M; ++m){
	    var s = "m2="+ m +"の時,c="+ f2(m, 8, 4, 9, 3) +
			              ",d="+ f2(m, 31, 19, 54, 18);
	    document.write(s + P.nl);
	}
}
function f1(m, a1, a2, a3, d1, d2, d3){
	return (m%3)     * (m%3 - 2)/(-1) * (a1 + d1*((m - m%3)/3)) +
	       (m%3)     * (m%3 - 1)/2    * (a2 + d2*((m - m%3)/3)) +
           (m%3 - 1) * (m%3 - 2)/2    * (a3 + d3*((m - m%3)/3 - 1));	       
}
function f2(m, a1, a2, d1, d2){
	return (m%2)          * (a1 + d1*((m - m%2)/2)) + 
           (m%2 - 1)/(-1) * (a2 + d2*((m - m%2)/2 - 1));
	       
}
//]]>
</script>
</head>

<body onload="calc();">
</body>
</html>
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FarSeer08

なし Re: 数列

msg# 1.1.1
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 | 投稿日時 2015/12/28 3:18
FarSeer08  常連   投稿数: 197
前発言のコード内の式を普通の数式で表記したのが、下のものです。









 ここで









(fml2tex で三角に等号の定義記号が使えないようなので代わりに合同の記号を使用しています)
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Allegro

なし Re: 数列

msg# 1.1.1.1
前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2016/1/10 11:20
Allegro  半人前   投稿数: 25
FarSeer08さん、解答ありがとうございます。
としまたぎで明けましておめでとうございます。

.....

確かに(m1.a.b)の数列は3周期、
そして(m2,c,d)の数列は2周期ですね。

僕はずぼらなので場合分けをまとめずに
分けたままにしてあります。
(分けたままの方が簡単かな?)

(解答例)

a=(8m1+7)/3 ,
b=6*{(8m1+7)/3-3}+1(m1=1,4,7,,,,)

a=(2m1+2)/3 ,
b=6*{(2m1+2)/3-1}+1(m1=2,5,8,...)

a=(14m1+12)/3 ,
b=6*{(14m1+12)/3-5}+1(m1=3,6,9,...)

c=(9m2+7)/2,
d=6*{(9m2+7)-3}+1(m2=1,3,5,...,)

c=(3m2+2)/2,
d=6*{(3m2+2)-1}+1(m2=2,4,6,...,)
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