Re: 双子素数
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双子素数 (Allegro, 2014/1/2 9:55)
Allegro
投稿数: 25

双子素数の組は(3,5)を唯一の例外として
(6n-1,6n+1)の形で表せます(n:自然数)
では(6n-1,6n+1)が実際に双子素数になる場合はどんな場合でしょうか?
(6n-1,6n+1)が双子素数の組ではない時、かつ、その時に限って、
6n-1=(6a-1)(6b+1)...[A1]
または
6n+1=(6a-1)(6b-1)...[B1]
または
6n+1=(6a+1)(6b+1)...[C1]
で表せます(そのような自然数a,bがとれる)
三式をそれぞれ変形すると
[A1]式を変形して
6n-1=36ab+6a-6b-1
6n=36ab+6a-6b
n=6ab+a-b...[A2]
[B1]式を変形して
6n+1=36ab-6a-6b+1
6n=36ab-6a-6b
n=6ab-6-b...[B2]
[C1]式を変形して
6n+1=36ab+6a+6b+1
6n=36ab+6a+6b
n=6ab+a+b...[C2]
したがって、自然数nが6ab-a-b,6ab+a-b,6ab+a+b
のいずれかの形で表せる時、かつ、その時に限って、
(6n-1,6n+1)は合成数を含む組になります。
自然数nが6ab-a-b,6ab+a-b,6ab+a+bの
いずれの形でも表せない時、かつ、その時に限って
(6n-1,6n+1)は双子素数の組になります。
従って、双子素数が無限に存在することを示すには
6ab-a-b,6ab+a-b,6ab+a+bで表せる自然数の
小さい順から並べた列がどこまでいっても
無限に隙間だらけであることを示せばよいことになります。
双子素数が有限組しか存在しないことを示すには
ある自然数n0をひとつとってn≧n0なる
すべての自然数nに対して、nが
6ab-a-b,6ab+a-b,6ab+a+bの
いずれかで表せることを示せばよいことになります。
しかしその証明が難しいらしいのですが。。。???(式そのものは平易)
(6n-1,6n+1)の形で表せます(n:自然数)
では(6n-1,6n+1)が実際に双子素数になる場合はどんな場合でしょうか?
(6n-1,6n+1)が双子素数の組ではない時、かつ、その時に限って、
6n-1=(6a-1)(6b+1)...[A1]
または
6n+1=(6a-1)(6b-1)...[B1]
または
6n+1=(6a+1)(6b+1)...[C1]
で表せます(そのような自然数a,bがとれる)
三式をそれぞれ変形すると
[A1]式を変形して
6n-1=36ab+6a-6b-1
6n=36ab+6a-6b
n=6ab+a-b...[A2]
[B1]式を変形して
6n+1=36ab-6a-6b+1
6n=36ab-6a-6b
n=6ab-6-b...[B2]
[C1]式を変形して
6n+1=36ab+6a+6b+1
6n=36ab+6a+6b
n=6ab+a+b...[C2]
したがって、自然数nが6ab-a-b,6ab+a-b,6ab+a+b
のいずれかの形で表せる時、かつ、その時に限って、
(6n-1,6n+1)は合成数を含む組になります。
自然数nが6ab-a-b,6ab+a-b,6ab+a+bの
いずれの形でも表せない時、かつ、その時に限って
(6n-1,6n+1)は双子素数の組になります。
従って、双子素数が無限に存在することを示すには
6ab-a-b,6ab+a-b,6ab+a+bで表せる自然数の
小さい順から並べた列がどこまでいっても
無限に隙間だらけであることを示せばよいことになります。
双子素数が有限組しか存在しないことを示すには
ある自然数n0をひとつとってn≧n0なる
すべての自然数nに対して、nが
6ab-a-b,6ab+a-b,6ab+a+bの
いずれかで表せることを示せばよいことになります。
しかしその証明が難しいらしいのですが。。。???(式そのものは平易)

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