角谷・コラッツ(Collatz)予想

こんにちは。

角谷・コラッツ予想のループが1→4→2→1以外には存在しないことを示してみたいと思います。

以下、変数は全て自然数とします。

[1]
(2^k1・n-1)/3=nとおくと、
2^k1・n=3n+1
(2^k1-3)n=1

n=1,k1=2のみが自然数解

[2]
((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)/3=nとおくと、
(2^k1・n-1)/3・2^k2=3n+1
(2^k1・n-1)・2^k2=3(3n+1)

2^k2と3は互いに素だから、
また、2^k1・n-1は奇数で、
3n+1は3で割り切れないから、

2^k1・n-1=3...[2-a]
2^k2=3n+1.....[2-b]

[2-a]より、
2^k1・n=2^2...[2-c]

k1=1,n=2
または
k1=2,n=1

[2-b]より
k2=2*q,n=(4^q-1)/3

合わせて、
n=1,k1=2,k2=2のみが自然数解

[3]
(((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)/3・2^k3-1)/3=nとおくと、
((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)/3・2^k3=3n+1
((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)・2^k3=3(3n+1)
((2^k1・n-1)・2^k2-3)・2^k3=3^2(3n+1)

2^k3と3^2は互いに素だから、
また、((2^k1・n-1)・2^k2-3)は奇数で、
3n+1は3で割り切れないから、

(2^k1・n-1)・2^k2-3=3^2...[3-a]
2^k3=(3n+1)...............[3-b]

[3-a]より、
(2^k1・n-1)・2^k2=3(3+1)=3・2^2

2^k2と3は互いに素だから、
また、2^k1・n-1は奇数で、
2^2は3で割り切れないから、

2^k2=2^2...[3-c]

(2^k1・n-1)=3
2^k1・n=2^2

丁度、[2-a],[2-c]と同様の式だから、

k2=2,

k1=1,n=2
または
k1=2,n=1

[3-b]より
k3=2*q,n=(4^q-1)/3

合わせて

n=1,k1=2,k2=2,k3=2のみが自然数解

[4]
((((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)/3・2^k3-1)/3)・2^k4-1)/3=nとおくと、
(((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)/3・2^k3-1)・2^k4=3(3n+1)
(((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)・2^k3-3)・2^k4=3^2(3n+1)
(((2^k1・n-1)・2^k2-3)・2^k3-3^2)・2^k4=3^3(3n+1)

2^k4と3^3は互いに素だから、
また、(((2^k1・n-1)・2^k2-3)・2^k3-3^2)は奇数で、
3n+1は3で割り切れないから、

(((2^k1・n-1)・2^k2-3)・2^k3-3^2)=3^3...[4-a]
2^k4=(3n+1)...[4-b]

[4-a]より、
((2^k1・n-1)・2^k2-3)・2^k3=3^2(3+1)=3^2・2^2

2^k3と3^2は互いに素だから、
また、((2^k1・n-1)・2^k2-3)は奇数で、
2^2は3で割り切れないから

((2^k1・n-1)・2^k2-3)=3^2
2^k3=2^2

丁度[3-a]と同様の式になるから、

n=1,k1=2,k2=2,k3=2,k4=2のみが自然数解


以下、同様にして（厳密には数学的帰納法を用いて(省略))


(((2^k1・n-1)/3・2^k2-1)/3・2^k3.../3・2^kx)-1)/3=nとおくと、
ループは、
n=1,k1=k2=..=kx=1の時のみ可能となる。

これはすなわち1→4→2→1以外のループは存在しないことを意味する。
(n→3n+1(n≡1(mod.2)),n→n/2(n≡0(mod.2)として)

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