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なし Re: 数式の表示

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2013/12/19 10:44
CEGIPO 
【オイラーの公式を四元数に応用】

以下、a^bをaのb乗、i,j,kを四元数の三虚数単位とします。


e^(iθ)=cosθ+isinθ
を四元数に応用することを試みます。

オイラーに倣ってマクローリン展開を用います。

////
e^x
=1+(x^1)/(1!)+(x^2)/(2!)+(x^3)/(3!)+(x^4)/(4!)...
より

e^(iy)
=1+((iy)^1)/(1!)+((iy)^2)/(2!)+((iy)^3)/(3!)+((iy)^4)/(4!)
+((iy)^5)/(5!)+((iy)^6)/(6!)+((iy)^7)/(7!)+((iy)^8)/(8!)+...
=1+iy/(1!)-(y^2) /(2!)-i(y^3)/(3!)+(y^4)/(4!)
+i(y^5)/(5!)-(y^6)/(6!)-i(y^7)/(7!)+(y^8)/(8!)+...
=1-(y^2)/(2!)+(y^4)/(4!)-(y^6)/(6!)+(y^8)/(8!)+...
+(iy/(1!)-i(y^3)/(3!)+i(y^5)/(5!)-i(y^7)/(7!)+...)
=1-(y^2)/(2!)+(y^4)/(4!)-(y^6)/(6!)+(y^8)/(8!)+...
+i{y/(1!)-(y^3)/(3!)+(y^5)/(5!)-(y^7)/(7!)+...}

= cosy+isiny

四元数iy+jz+kwにあてはめて

e^(iy+jz+kw)
=1+((iy+jz+kw)^1)/(1!)+((iy+jz+kw)^2)/(2!)+((iy+jz+kw)^3)/(3!)+((iy+jz+kw)^4)/(4!)
+((iy+jz+kw)^5)/(5!)+((iy+jz+kw)^6)/(6!)+((iy+jz+kw)^7)/(7!)+((iy+jz+kw)^8)/(8!)+...
=1-{√(y^2+z^2+w^2)}^2/(2!)+{√(y^2+z^2+w^2)}^4/(4!)-{√(y^2+z^2+w^2)}^6/(6!)+{√(y^2+z^2+w^2)^8}/(8!)+...
+{(iy+jz+kw)/√(y^2+z^2+w^2)}・
[{√(y^2+z^2+w^2)}/(1!)-{√(y^2+z^2+w^2)}^3/(3!)+{√(y^2+z^2+w^2)}^5/(5!)-{√(y^2+z^2+w^2)}^7/(7!)+...

= cos√(y^2+z^2+w^2)+{(iy+jz+kw)/√(y^2+z^2+w^2)}・sin√(y^2+z^2+w^2)

////
cosx
=1-(x^2)/(2!)+(x^4)/(4!)-(x^6)/(6!)+(x^8)/(8!)+...

cos(iy)
=1-((iy)^2)/(2!)+((iy)^4)/(4!)-((iy)^6)/(6!)+((iy)^8)/(8!)-...
=1+y^2/(2!)+y^4/(4!)+y^6/(6!)+y^8/(8!)+...
=(e^y+e^-y)/2

=coshy

cos(iy+jz+kw)
=1-((iy+jz+kw)^2)/(2!)+((iy+jz+kw)^4)/(4!)-((iy+jz+kw)^6)/(6!)+((iy+jz+kw)^8)/(8!)+...
=1+(√(y^2+z^2+w^2))^2/(2!)+(√(y^2+z^2+w^2))^4/(4!)+(√(y^2+z^2+w^2))^6/(6!)+(√(y^2+z^2+w^2))^8/(8!)+...
={e^(√(y^2+z^2+w^2))+e^-(√(y^2+z^2+w^2))}/2

=cosh√(y^2+z^2+w^2)

////
coshx
=(e^x+e^-x)/2
=1+(x^2)/(2!)+(x^4)/(4!)+(x^6)/(6!)+(x^8)/(8!)+...

cosh(iy)
=(e^(iy)+e^-(iy))/2
=1+((iy)^2)/(2!)+((iy)^4)/(4!)+((iy)^6)/(6!)+((iy)^8)/(8!)+...
=1-y^2/(2!)+y^4/(4!)-y^6/(6!)+y^8/(8!)+...

=cosy

cosh(iy+jz+kw)
=(e^(iy+jz+kw)+e^-(iy+jz+kw))/2

=cos√(y^2+z^2+w^2)

△(y,z,w)≡△≡iy+jz+kw
▽(y,z,w)≡▽≡√(y^2+z^2+w^2)
◇(y,z,w)≡◇≡△/▽
と表記定義すれば

e^△=cos▽+△/▽・sin▽=cos▽+◇sin▽
cos△=cosh▽
cosh△=cos▽
◇^2=-1
◇^4=1

と簡潔に表記することもできます。
※四元数における1の四乗根は◇=(iy+jz+kw)/√(y^2+z^2+w^2)
(y,z,w任意の実数。但し、y^2+z^2+w^2>0)

(^_-)v
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