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ダークマター・宇宙の進化を表すフリードマン方程式の導出

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entangle1

なし ダークマター・宇宙の進化を表すフリードマン方程式の導出

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿.1 .2 .3 | 投稿日時 2019/9/9 12:19
entangle1  半人前   投稿数: 87
再度
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%9E%E3%83%B3%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
「フリードマン方程式」にもどって、そこから話を始めましょう。

wikiのフリードマン方程式の第一式は物質密度ρで書かれています。
これが原型で、ρの代わりにエネルギー密度εを使う場合は式の第一項に1/C^2という係数がかかる事になります。
そうして、その事とは別にC=1とする自然単位系をつかうとCが表現されなくなります。
それで、フリードマン方程式がいくつもある様な錯覚に陥りますので、ご注意願います。

そして、この第一式からスタートしてスケール因子の時間微分ά(t)を表す微分方程式にたどり着くのが最初の目的になります。
それができれば次はその微分方程式を解いて宇宙の展開の仕方がわかる、要するにフリードマングラフが描ける、と言う事になる訳であります。

その手順については
http://www-utap.phys.s.u-tokyo.ac.jp/~suto/myresearch/lambda02.pdf
「宇宙定数」
の4~5pにかけて展開されており、それを参照していただくのでも良いでしょう。
(2.3.8)式が求める式になります。

たいていa0=1としますので(2.3.8)式でRはスケール因子aそのものとして良いでしょう。
λ0は宇宙項:ダークエネルギー項で、今はΩΛの様に表示するのが流行の様です。


あるいは
https://teenaka.at.webry.info/201803/article_6.html
「フリードマン-ルメートル方程式の導出」を参照されるのでもよろしいかと思われます。
http://archive.fo/J8wTb)

ここで相対論的物質(光子、輻射):ργとは輻射優勢期の状態の事であって、ビッグバンから7.4万年あたりまでの模様です。
この時期は基本的に素粒子は光速に近いスピードで飛び回っており、もちろん光子やニュートリノは光速飛行であったと思われます。

非相対論的物質(無衝突粒子):ρmは通常の質量をもつ粒子のことであって、その運動スピードが光速Cに比べてだいぶ遅い、そういう状況です。
そうしてργとρmが同程度になるのが7.4万年あたり、それ以降ダークエネルギー優位になるまでこの物質優勢期が続きます。(注1)

宇宙定数(真空のエネルギー):Λについては単位を物質密度ρmとそろえた表示にすると
ρΛ=C^2*Λ/(8*Pi*G)  となります。
そしてダークエネルギー優勢期は諸説ありますが、たとえば71億年あたりから現在という様になります。

そうやって導出された最後の式が求める式になります。
「宇宙定数」の4~5pと違う所は、こちらの式には相対論的物質:ργの効果が入っている、ということで、表示としてはより正確なのですが、現時点の宇宙ではργ≒ぜろとして良いので、実質上は「宇宙定数」で出した式と同じものになる、と言う事になります。

そして現在の宇宙を観測して式に代入するパラメータ:初期条件を決めますので、ργ≒ゼロという事になりますが、もちろんビッグバン直後の初期宇宙ではργ≒100%であろうと推察されます。
しかしながら、ビッグバン直後の宇宙の各種パラメータを現状では観測によって知る事は出来ません。
従いまして、この微分方程式を解く為の初期条件は基本的に「現在の宇宙のを観測して得られる値を使う」という事になります。
さてそうなりますと、こうやって得られたパラメータからは物質優勢期以降、現在までの宇宙の挙動は推定できそうですが、ビッグバン直後から7.4万年あたりまでの輻射優勢期の宇宙の挙動を推定する事には無理がある、と言う事になりそうです。


ところで「フリードマン-ルメートル方程式の導出」では臨界(質量)密度 ρcで無次元化しています。(注3)

他方でおなじ式を表示しながら
http://osksn2.hep.sci.osaka-u.ac.jp/~naga/kogi/handai-honor07/7-fatecosmos.pdf
「7 宇宙の運命」
5pではそれを「宇宙の臨界エネルギー密度」と呼んでいます。
これはこちらの文脈では「ρはエネルギー密度を表すもの」として指定されており、従ってエネルギー密度=質量密度*C^2の関係により、こちらのフリードマン方程式の第一項には1/C^2という係数がかかっている、とそう言う事になります。

そうして、「7 宇宙の運命」5~6pにかけて「臨界エネルギー密度の導出とその説明」、それから「エネルギー密度と宇宙の曲率k」について説明されています。

特に現在の宇宙の曲率kについてはa0=1とした場合は曲率は実際にk/R^2で求められる、と言う事が3pの下段に書かれている。
この場合のkは(31)式によって求められ、現在の宇宙がプラスの曲率を持つと仮定した場合の曲率半径が138億光年を下限としてそれ以上である、と言う事が示されています。(注2)

さらにロバートソン・ウォーカーの計量と空間の曲率の関係については前出「7 宇宙の運命」の2~3pにわたって説明されていますので、こちらも参照願います。
そこでの説明によれば、Wikiで示されているロバートソン・ウォーカーの計量の表示はa0=Rとした場合の時であり、この時に空間の曲率の符号のみを取り出してkというパラメータで示している、と言う事になります。

注1
http://osksn2.hep.sci.osaka-u.ac.jp/~naga/kogi/konan-class06/ch6-thermal-cosmos.pdf
「第6講 熱的宇宙」
13p 「6.8 初期宇宙の主な出来事」参照

注2:曲率半径
https://www.cosmology.jp/intro-to-cosmology/node17.html
「曲率と計量」
を参照ねがいます。
( http://archive.fo/3aizI)

注3
臨界密度とロバートソン・ウォーカーの計量、そしてフリードマン方程式、宇宙の曲率などについては、ページを改めて再度検討したいと思います。


https://blog.goo.ne.jp/rokusanasukor/e/7f6b375b88809d2047b1c5060a01c46b
・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと 一覧


http://archive.fo/SmxzC
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