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「神」はヒルベルト空間に住む

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なし 「神」はヒルベルト空間に住む

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前の投稿 - 次の投稿 | 親投稿 - 子投稿なし | 投稿日時 2016/4/21 20:08
SumioBaba 
            「神」はヒルベルト空間に住む
(メールマガジン『「神」を完全に解明しました!!【No.64】』からの引用です。)

    要約
 存在し得るすべての心M0、M1、M2、M3、…を要素とする集合{M}は、無限次元ヒルベルト空間内で、存在し得るすべての向きを持った長さ1の単位ベクトルV0、V1、V2、V3、…を要素とする集合{V}と一対一対応します。MiにとってMjの存在確率は|<Mi|Mj>|^2で与えられ、ViとVjとの内積の二乗に対応します。これを「「神」はヒルベルト空間に住む」と表現できます。


 最大でN=5ビットの情報を持つ心の集合を考えます。Mi=「vwxyz」が一般形です。個々のv、w、x、y、zが独立して「0」と「1」を取り得るとすると、2進法で表した「00000」、「00001」、「00010」、…、「11111」という2^5=32種類の心が存在し得ることになります。これらを「基底」と呼び、m0、m1、m2、…、m31で表します。そして、32次元空間を考えます。この空間は、x0軸、x1軸、x2軸、…、x31軸という32本の互いに直交する座標軸で構成されており、それぞれの軸方向の長さ1の単位ベクトルこそが、m0、m1、m2、…、m31であると見なします。

 mi(i=0、1、2、…、31)はどれも長さ1であり、「miにとってmiの存在確率は1」であることを意味し、これを<mi|mi>=1と表現します。一方、これら32個の「基底」のうち、異なる2つをmi、mjとすると(i≠j)、miとmjとは必ず第1~5ビットのどれかにおいて、一方は「0」、他方は「1」という矛盾した情報を持っています(第1~5ビットのすべてに矛盾が無ければmi=mjになってしまう)。1つでも矛盾した情報を持っていれば、miの視点に立つ時、同時にmjの視点に立つことはできません。つまり、「miにとってmjの存在確率は0」であり、これを<mi|mj>=0と表現します。i≠jのときmiとmjとは直交しているのだから、ベクトルmiとベクトルmjとの内積<mi|mj>が0だと理解できます。この2つをまとめてこう表記します。
             【直交規格化条件】
   <mi|mj>=δij〔i=jのとき<mi|mj>=1、i≠jのとき<mi|mj>=0〕
δijは「クロネッカーのデルタ」と呼ばれる記号です。

 では、存在し得るすべての心Mxの一般形はどう表されるでしょうか。答は、これら32個の「基底」mi(i=0、1、2、…、31)に特定の重みai(i=0、1、2、…、31)を付けて線形に重ね合わせたものになります。aiは複素数にまで拡張できますが、ここでは実数としておきます。
   Mx=a0・m0+a1・m1+a2・m2+ … +a31・m31
      =Σ(ai・mi) 〔i=0、1、2、…、31について和を取る〕
重みa0、a1、a2、…、a31は独立して任意の値を取れます。32次元空間内の任意の点をPとし、原点をO=(0、0、0、…、0)とし、Pの座標をP=(a0、a1、a2、…、a31)とすると、MxこそがベクトルOPに対応します。つまり、存在し得る任意の心Mxは、この32次元空間内の点Pに対応するし、逆にこの32次元空間内の任意の点Pは、特定の心Mxに対応します。「神」を「存在し得るすべての心M0、M1、M2、M3、…を要素とする集合」で定義するなら、「神」を「32次元空間内のすべての点の集合」と定義しても良い訳です。

 ただ、Mxは特定の心の状態ですから、「MxにとってMxの存在確率は1」すなわち<Mx|Mx>=1は満たしておくべきです。Mx=a0・m0+a1・m1+a2・m2+ … +a31・m31をそのまま使って<Mx|Mx>を計算してみると、こうなります。
   <Mx|Mx>=(<a0・m0|+<a1・m1|+<a2・m2|+ … +<a31・m31|)
      (|a0・m0>+|a1・m1>+|a2・m2>+ … +|a31・m31>)
      =Σ〔i〕Σ〔j〕(ai・aj<mi|mj>)
つまり、ai・aj<mi|mj>を、i=0、1、2、…、31について、かつ、j=0、1、2、…、31について、32^2=1024個すべてを足すことになりますが、i≠jの場合は<mi|mj>=0で無視できるし、i=jのときだけ<mi|mj>=1なので、
      =Σ〔i〕(|ai|^2)
      =|a0|^2+|a1|^2+|a2|^2+ … +|a31|^2
となります。これを1と定めれば良いことになります。
   |a0|^2+|a1|^2+|a2|^2+ … +|a31|^2=1
この条件を満たせば、<Mx|Mx>=1が保証されます。これをMxの「規格化」と呼びます。

 具体例として、2つの「基底」であるm9=「01001」とm25=「11001」とを半々の重みで重ね合わせた心をMxとしてみます。Mx=a9・m9+a25・m25とおき、a9=a25とし、「規格化」の条件|a9|^2+|a25|^2=1を要求すると、解の1つはa9=a25=1/√2になります。つまり、
   Mx=(1/√2)m9+(1/√2)m25
そこで、
   「?」=(1/√2)「0」+(1/√2)「1」
と定義すると(「?」の一般的定義は「?」=a「0」+b「1」、|a|^2+|b|^2=1、aとbは任意の複素数)、
   Mx=(1/√2)「01001」+(1/√2)「11001」
    =「?1001」
と表現されます。
   <Mx|m9>=<(1/√2)m9+(1/√2)m25|m9>
       =(1/√2)<m9|m9>+(1/√2)<m25|m9>
       =(1/√2)×1+(1/√2)×0
       =1/√2
   <Mx|m25>=<(1/√2)m9+(1/√2)m25|m25>
       =(1/√2)<m9|m25>+(1/√2)<m25|m25>
       =(1/√2)×0+(1/√2)×1
       =1/√2
となります。「Mxの視点に確率1で立つということは、Mxの視点に確率1で立つ、かつ、m9の視点に確率1/2で立つ、かつ、m25の視点に確率1/2で立つ、ということである」を意味します。
 m9とm25とは直交していました。だから<m9|m25>=<m25|m9>=0でした。m9とm9、m25とm25とはもちろん平行であり、だから<m9|m9>=<m25|m25>=1でした。Mxとm9、Mxとm25とは45度の角度に傾いており、だから<Mx|m9>=<Mx|m25>=1/√2でした。2つの心MiとMjとが32次元空間内で相対的に角度θで傾いているとき、<Mi|Mj>=<Mj|Mi>=cosθの関係が有ります。そして、「Miの視点に確率1で立っているとき、同時にMjの視点にも確率<Mi|Mj>^2=(cosθ)^2で立っている」あるいは「MiにとってMjの存在確率は<Mi|Mj>^2=(cosθ)^2である」と言えます。

 なお、今の話ではN=5だったので2^N=2^5=32次元空間でしたが、N→∞に拡張すれば2^N=2^∞=∞次元空間になります。重みa0、a1、a2、…、a31を複素数にまで拡張する時は、x0軸、x1軸、x2軸、…、x31軸を、実軸x0rと虚軸x0i、実軸x1rと虚軸x1i、実軸x2rと虚軸x2i、…、実軸x31rと虚軸x31iに拡張します。
 要するに、存在し得るすべての心M0、M1、M2、M3、…は、無限次元のヒルベルト空間内において存在し得るすべての向きを持った長さ1の単位ベクトルV0、V1、V2、V3、…に例えられ、特定の心Miにとって他の心Mjが「存在する」か「存在する」+「存在しない」か「存在しない」かという違いは、特定のベクトルViにとって他のベクトルVjが「平行」か「45度」か「垂直」かという違いに等しい、ということです。
 「神」とは、存在し得るすべての心の状態を体験する、という点に関して全知全能である主体だと見なせます。Mx=「vwxyz…………」という、最大でN=∞ビットの情報を持ち得る心において、すべてのビットが「0」、「1」、「?」(=a「0」+b「1」)という3つの値を取る3^N=3^∞種類の心すべてをコレクションにし、体験しているのが「神」です。これを、「「神」はヒルベルト空間に住む」と表現できます。


 この「「神」はヒルベルト空間に住む」は、AmazonのKDP(キンドル・ダイレクト・パブリッシング)による電子書籍『「神」を完全に解明しました!!(SB量子神学)』シリーズの、《メールマガジン61~90》(ASIN:B01C6JGM90)の中に有ります。
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