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Re: 角谷・コラッツ(Collatz)予想
投稿者: Allegro 投稿日時: 2014/2/20 13:20
角谷(Collatz)予想の数列の変化を

n⇒(3n+1)/2 (nが奇数の時)
(※2で割る操作をセットにしているので注)
n→n/2 (nが偶数の時)

n->n(1)->n(2)->...n(s-1)->n(s)
(->は⇒または→)
(n(1),n(2),..,n(s-1)>n,n(s)<n)

とここでは書くこととし、

連続した→の数を左から順にn(s)の直前まで全てみて、
a<1>,a<2>,a<r>
連続した⇒の数を左から順にn(s)の直前まで全てみて、
b<1>,b<2>,b<r>
と表すことにする。
(nの左端出発値が3以上の奇数の場合のみ考える)

この時、

Suma<r>=Σ(i=1..r)a<i>
Sumb<r>=Σ(i=1..r)b<i>

として、次を示したい。

命題1)
nがnより小さい自然数n(s)に到達するならば
Sumb<r>(log<2>3-1.0) < Suma<r>

※<2>は対数の底

のですが、こつこつ式計算するしかないでしょうか?
(計算機でn=150000001まで確認済み)
一般的に(nがnより小さい数n(s)に到達するための
必要条件として(必要十分条件ではない))成り立つことを
示したいのです。

↓こんな式計算で上式を導いています。

bは⇒の個数のみ数え、
a+bは⇒の個数と→の個数の両方数えるから、
(3n+1)/2,n/2の式計算の組み合わせの考察から
例)n⇒(3n+1)/2⇒(3(3n+1)/2+1)/2→(3(3n+1)/2+1)/(2^2)
指数乗になる部分を取り出して、
(nが因数に含まれない部分がnを含む部分との
大きさの比較から無視できるから?)

(3^b)/(2^(a+b))<1
3^b<2^(a+b)
(3/2)^b<2^a
blog(3/2)<alog2
blog(3/2)/log2<a
b(log3-log2)/log2<a
b(log<2>3-1)<a

(Sumb<r>をb、Suma<r>をaとおいた)

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